Question

如圖，拋物線與x軸交于A(，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P是拋物線上第三象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCP的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABCP的面積；
（3）點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1） （2）四邊形ABCP的面積的最大值為，點(diǎn)P坐標(biāo)為 （3）存在；M₁(，) M₂(，) M₃(，) M₄ (，) M₅(，)

試題分析：⑴拋物線與x軸交于A(，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，則；解得，所以拋物線的解析式是
⑵過(guò)P點(diǎn)做PD垂直于X軸；四邊形ABCP的面積=三角形OBC的面積+三角形APD的面積+梯形OCPD的面積；拋物線與y軸的交點(diǎn)是C，C的坐標(biāo)（0,y）解得y=-4,則OC=4，而OC是三角形ABC的高；拋物線與x軸交于A(，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，OC=3，則；設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）; 點(diǎn)P是拋物線上第三象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，PD="-y,OD=-x;" 則==
當(dāng)x+2=0即x=-2時(shí)四邊形ABCP的面積的最大值為=+6=
點(diǎn)P坐標(biāo)為
⑶點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸上，拋物線的函數(shù)關(guān)系式，其對(duì)稱軸X=；在直角三角形OBC中BC=5；點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，使得以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)四邊相等解得
M₁(，) M₂(，) M₃(，) M₄ (，)
M₅(，)
點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)的知識(shí)，本題要求學(xué)生掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，本題難度較大，但（1）小問(wèn)比較簡(jiǎn)單，要求學(xué)生會(huì)做，后面兩小問(wèn)，難度較大，要求中等成績(jī)以上的學(xué)生要會(huì)做