Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+5與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝﹣x+5交于B，C兩點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M，N分別是直線BC和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△DMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，并寫出△DMN周長(zhǎng)的最小值；

（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P，使∠PBA＝∠ODN？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（，）、（，0），△DMN周長(zhǎng)的最小值＝；（3）點(diǎn)P（﹣，）．

【解析】

（1）求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)、將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）過(guò)點(diǎn)D分別作x軸和直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D′（0，-3）、D″，連接D′D″交x軸、直線BC于點(diǎn)N、M，此時(shí)△DMN的周長(zhǎng)最小，即可求解；

（3）tan∠ODN==tan∠PBA，確定直線BP的表達(dá)式，即可求解．

（1）y＝﹣x+5，令x＝0，則y＝5，令y＝0，則x＝5，

故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（5，0）、（0，5），

則二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+bx+5，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得：b＝4，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x+5…①，

令y＝0，則x＝﹣1或5，

故點(diǎn)A（﹣1，0），而OB＝OC＝2，故∠OCB＝45°；

（2）過(guò)點(diǎn)D分別作x軸和直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D′（0，﹣3）、D″，

∵∠OCB＝45°，則CD″∥x軸，則點(diǎn)D″（2，5），

連接D′D″交x軸、直線BC于點(diǎn)N、M，此時(shí)△DMN的周長(zhǎng)最小，

將點(diǎn)D′、D″的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝mx+n并解得：

直線D′D″的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式為：y＝4x﹣3，

則點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（，）、（，0），

△DMN周長(zhǎng)的最小值＝DM+DN+MN＝；

（3）如圖2，tan∠ODN＝＝tan∠PBA，

則直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣x+s，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣x+…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝5或﹣（舍去5）

故：點(diǎn)P（﹣，）．