【題目】如圖,在△ABC中,點B,C是x軸上的兩個定點,∠ACB=90°,AC=BC,點A(l,3),點P是x軸上的一個動點,點E是AB的中點,在△PEF中,∠PEF=90°,PE=EF

(1)如圖1,當(dāng)點P與坐標原點重合時:①求證△PCE≌△FBE;②求點F的坐標;
(2)如圖2,當(dāng)點P在線段CB上時,求證SCPE=SAEF
(3)如圖3,當(dāng)點P在線段CB的延長線時,若SAEF=4SPBE則此刻點F的坐標為

【答案】
(1)

證明:如圖1中,

①∵A(1,3),B(4,0),

∴AC=BC=3,△ACB是等腰直角三角形,

∵AE=EB,

∴CE=AE=EB,CE⊥AB,∠ECB=∠EBC=45°,

∴∠CEB=∠OEF=90°,∠ECO=135°,

∴∠OEC=∠FEB,∵OE=EF,EC=EB,

∴△EOC≌△EFB,即△PCE≌△FBE..

②∵△PCE≌△FBE.

∴OC=BF=1,∠EBF=∠OCE=135°,

∴∠OBF=90°,

∴BF⊥OB,

∴F(4,﹣1)


(2)

證明:如圖2中,作PM⊥CE于M,F(xiàn)N⊥EB于N.

由(1)可知∠OEC=∠FEB,OE=EF,EC=EB,

∴△ECP≌△EBF,

∵PM⊥CE于M,F(xiàn)N⊥EB于N,

∴PM=FN(全等三角形對應(yīng)邊上的高相等),

∵SCPE= CEPM,SAEF= AEFN,

∵CE=AE,PM=NF,

∴SCPE=SAEF


(3)(4,4)
【解析】(3)解:如圖3中,

由(2)可知△ECP≌△EBF,推出PC=BF,BF⊥CP,
∵SCPE=SAEF , SAEF=4SPBE ,
∴SCPE=4SPBE ,
∴PC=4PB,
∴BC=3PB,PB=1,PC=4,
∴BF=PC=4,
∴點F坐標為(4,4).
所以答案是(4,4).
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求點A的坐標及點C的坐標(用含a的代數(shù)式表示);

(2)連接BP,若△BDP與△AOC相似(點O為原點),求此二次函數(shù)的關(guān)系式.

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AB2AC2=2AD2+2BD2

小明嘗試對它進行證明,部分過程如下:

解:過點AAEBC于點E,如圖2,在Rt△ABE中,AB2AE2BE2,

同理可得:AC2AE2CE2,AD2AE2DE2,

為證明的方便,不妨設(shè)BDCDx,DEy,

AB2AC2AE2BE2AE2CE2=……

(1)請你完成小明剩余的證明過程;

理解運用:

(2) ① 在△ABC中,點DBC的中點,AB=6,AC=4,BC=8,則AD=_______;

② 如圖3,⊙O的半徑為6,點A在圓內(nèi),且OA=2,點B和點C在⊙O上,且∠BAC=90°,點EF分別為AO、BC的中點,則EF的長為________;

拓展延伸:

(3)小明解決上述問題后,聯(lián)想到《能力訓(xùn)練》上的題目:如圖4,已知⊙O的半徑為5,以A(3,4)為直角頂點的△ABC的另兩個頂點B,C都在⊙O上,DBC的中點,求AD長的最大值.請你利用上面的方法和結(jié)論,求出AD長的最大值.

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(1)當(dāng)矩形紙板ABCD的一邊長為90厘米時,求紙盒的側(cè)面積的最大值;

(2)當(dāng)EHEF=7:2,且側(cè)面積與底面積之比為9:7時,求x的值.

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