Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，點F在AC的延長線上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當AD=5時，求BF的長和扇形DOE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠CBF=∠CFB，

∴CB=CF，

又∵AC=CF，

∴CB= AF，

∴△ABF是直角三角形，

∴∠ABF=90°

∴直線BF是⊙O的切線

（2）解：連接DO，EO，

∵點D，點E分別是弧AB的三等分點，

∴∠AOD=60°，

又∵OA=OD，

∴△AOD是等邊三角形，

∴∠OAD=60°，

又∵∠ABF=90°，AD=5，

∴AB=10，

∴BF=10 ；

扇形DOE的面積= = π．

【解析】（1）證明直線BF是⊙O的切線，只需證明∠ABF=90°；（2）連接DO，EO，根據(jù)題意證明△AOD是等邊三角形，得到△ABC是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求出BF的長，根據(jù)扇形面積公式： 求出扇形DOE的面積．
【考點精析】本題主要考查了扇形面積計算公式的相關(guān)知識點，需要掌握在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能正確解答此題．