【題目】如圖,P為正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(P與B、C不重合),連接AP,過點(diǎn)B作BQ⊥AP交CD于點(diǎn)Q,將△BQC沿BQ所在的直線對(duì)折得到△BQC′,延長QC′交BA的延長線于點(diǎn)M.
(1)試探究AP與BQ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)AB=3,BP=2PC,求QM的長;
(3)當(dāng)BP=m,PC=n時(shí),求AM的長.
【答案】(1)AP=BQ,理由參見解析;(2);(3).
【解析】試題分析:(1)要證AP=BQ,只需證△PBA≌△QCB即可;
(2)過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H,如圖.易得QH=BC=AB=3,BP=2,PC=1,然后運(yùn)用勾股定理可求得AP(即BQ)=,BH=2.易得DC∥AB,從而有∠CQB=∠QBA.由折疊可得∠C′QB=∠CQB,即可得到∠QBA=∠C′QB,即可得到MQ=MB.設(shè)QM=x,則有MB=x,MH=x﹣2.在Rt△MHQ中運(yùn)用勾股定理就可解決問題;
(3)過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H,如圖,同(2)的方法求出QM的長,就可得到AM的長.
解:(1)AP=BQ.
理由:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
∴∠ABQ+∠CBQ=90°.
∵BQ⊥AP,∴∠PAB+∠QBA=90°,
∴∠PAB=∠CBQ.
在△PBA和△QCB中,
,
∴△PBA≌△QCB,
∴AP=BQ;
(2)過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H,如圖.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴QH=BC=AB=3.
∵BP=2PC,
∴BP=2,PC=1,
∴BQ=AP===,
∴BH===2.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴DC∥AB,
∴∠CQB=∠QBA.
由折疊可得∠C′QB=∠CQB,
∴∠QBA=∠C′QB,
∴MQ=MB.
設(shè)QM=x,則有MB=x,MH=x﹣2.
在Rt△MHQ中,
根據(jù)勾股定理可得x2=(x﹣2)2+32,
解得x=.
∴QM的長為;
(3)過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H,如圖.
∵四邊形ABCD是正方形,BP=m,PC=n,
∴QH=BC=AB=m+n.
∴BQ2=AP2=AB2+PB2,
∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2,
∴BH=PB=m.
設(shè)QM=x,則有MB=QM=x,MH=x﹣m.
在Rt△MHQ中,
根據(jù)勾股定理可得x2=(x﹣m)2+(m+n)2,
解得x=m+n+,
∴AM=MB﹣AB=m+n+﹣m﹣n=.
∴AM的長為.
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【題目】2016年某市用于資助貧困學(xué)生的助學(xué)金總額是9680000元,將9680000用科學(xué)記數(shù)法表示為( 。
A. 96.8×105 B. 9.68×106 C. 9.68×107 D. 0.968×108
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【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,△OBC的頂點(diǎn)分別為O(0,0),B(3,﹣1)、C(2,1).
(1)以點(diǎn)O(0,0)為位似中心,按比例尺2:1在位似中心的異側(cè)將△OBC放大為△OB′C′,放大后點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′,畫出△OB′C′,并寫出點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo):B′( , ),C′( , );
(2)在(1)中,若點(diǎn)M(x,y)為線段BC上任一點(diǎn),寫出變化后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)( , ).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中錯(cuò)誤的是( )
A. 擲一枚均勻的骰子,骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后6點(diǎn)朝上是必然事件
B. 了解一批電視機(jī)的使用壽命,適合用抽樣調(diào)查的方式
C. 若a為實(shí)數(shù),則|a|<0是不可能事件
D. 甲、乙兩人各進(jìn)行10次射擊,兩人射擊成績的方差分別為S甲2=2,S乙2=4,則甲的射擊成績更穩(wěn)定
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【題目】我縣七年級(jí)今年有4500名學(xué)生參加本次考試,要想了解這4500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績從中抽取了500名考生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,以下說法正確的是( )
A. 這500名考生是總體的一個(gè)樣本 B. 每位考生是個(gè)體
C. 500名考生是總體 D. 這種調(diào)查是抽樣調(diào)查
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【題目】下列事件屬于必然事件的是( 。
A. 蒙上眼睛射擊正中靶心
B. 買一張彩票一定中獎(jiǎng)
C. 打開電視機(jī),電視正在播放新聞聯(lián)播
D. 月球繞著地球轉(zhuǎn)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于A(﹣1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3),設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D.
(1)求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形嗎?為什么?
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請(qǐng)指出符合條件的點(diǎn)P的位置,并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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