Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（4，0），B（2，﹣），M是OA的中點(diǎn)．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)P是拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)P作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)Q，要使四邊形PQAM是菱形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得曲線OB′A（B′為B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)），在原拋物線x軸的上方部分取一點(diǎn)C，連接CM，CM與翻折后的曲線OB′A交于點(diǎn)D．若△CDA的面積是△MDA面積的2倍，這樣的點(diǎn)C是否存在？若存在求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(1) y=x²﹣x．(2) P（1，﹣）．(3) 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2+2，）或（2﹣2，）．

解析試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）由四邊形PQAM是菱形，可知PQ=2且PQ∥x軸，因此點(diǎn)P、Q關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)為1，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)C．由△CDA的面積是△MDA面積的2倍，可得點(diǎn)C縱坐標(biāo)是點(diǎn)D縱坐標(biāo)的3倍，由此列方程求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
試題解析：（1）∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，∴設(shè)其解析式為：y=ax²+bx．
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（2，﹣），
∴，解得，
∴二次函數(shù)解析式為：y=x²﹣x．
（2）∵y=x²﹣x=（x﹣2）²﹣，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線：x=2．
∵四邊形PQAM是菱形，
∴PQ=MA=2，PQ∥x軸．
∴點(diǎn)P、Q關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為1．
當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣=﹣．
∴P（1，﹣）．
（3）依題意，翻折之后的拋物線解析式為：y=﹣x²+x．
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)C，
∵△CDA的面積是△MDA面積的2倍，
∴CD=2MD，∴CM=3MD．
如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)D、C作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，則有DE∥CF．

∴，
∴CF=3DE，MF=3ME．
設(shè)C（x，x²﹣x），
則MF=x﹣2，ME=MF=（x﹣2），OE=ME+OM=x+
∴D（x+，﹣（x+）²+（x+））．
∵CF=3DE，
∴x²﹣x=3[﹣（x+）²+（x+）]，
整理得：x²﹣4x﹣8=0，
解得：x₁=2+2，x₂=2﹣2．
∴y₁=，y₂=，
∴存在滿足條件的點(diǎn)C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2+2，）或（2﹣2，）．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．