Question

已知：拋物線y=-x²+（m+3）x-m-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m＞0，直線y=kx-1經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，且AD•BD=2，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下：若A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)，P為所得的拋物線的頂點(diǎn)，PH⊥AB，H為垂足，連接PA，直線y=kx-1交x軸于M，若以O(shè)，D，M為頂點(diǎn)的三角形與與△HPA相似，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可令y=0，則所得方程的根的判別式△＞0，可據(jù)此求出m的取值范圍．
（2）根據(jù)已知直線的解析式，可得到D點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)拋物線的解析式，可用m表示出A、B的坐標(biāo)，即可得到AD、BD的長，代入AD×BD=2中，即可求得m的值，從而確定拋物線的解析式．
（3）根據(jù)（2）所給的條件求出A、B、D、P、H的坐標(biāo)，再求出△HPA的三邊長，最后根據(jù)以O(shè)，D，M為頂點(diǎn)的三角形與與△HPA相似求出OM的長，即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）因?yàn)閽佄锞�y=-x²+（m+3）x-m-2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以方程x²-（m+3）x+（m+2）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，
所以△=[-（m+3）]²-4（m+2）=（m+1）²＞0，
所以m≠-1；

（2）設(shè)A（x₁，0）、B（x₂，0），
則x₁，x₂是方程x²+（m+1）x-（m+2）=0的兩個(gè)實(shí)根，
∵x²-（m+3）x+（m+2）=（x-1）（x-m-2）=0，
∴x₁=1，x₂=m+2，
利用AD•BD=2，得：2[1+（m+2）²]=52，
解得m=-7和m=3，
∵m＞0，
∴m=3，
所求拋物線的解析式是y=-x²+6x-5；
（3）滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)：如圖：

M₁（，0），M₂（2，0），M₃（-，0），M₄（-2，0）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合；根據(jù)根的判別式、二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)及圖形面積的求法進(jìn)行解答，難度適中．