Question

數(shù)學(xué)課上，老師出示如圖和下面框中條件，

同學(xué)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論：①S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3；

②數(shù)值相等關(guān)系：x_C·x_D＝－y_H．

(1)請(qǐng)你驗(yàn)證結(jié)論①和結(jié)論②成立；

(2)請(qǐng)你研究：如果將上述框中的條件“A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)”改為“A點(diǎn)坐標(biāo)為(t，0)，(t＞0)”．其他條件不變，結(jié)冰①是否仍成立？(請(qǐng)說(shuō)出理由)

(3)進(jìn)一步研究：如果將上述框中的條件“A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)”改為“A點(diǎn)坐標(biāo)為(t，0)(t＞0)”．又將條件“y＝x²”改為“y＝ax²(a＞0)”其他條件不變，那么x_C、x_D和y_H有怎樣的數(shù)值關(guān)系？(寫出結(jié)果并說(shuō)明理由)

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，l)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4)由點(diǎn)C坐標(biāo)為(1，1)易得直線OC的函數(shù)解析式為y＝x，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，2)，∴S△CMD＝1，S梯形ABMC＝，∴S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3，即結(jié)論①成立；設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，則，得，∴直線CD的函數(shù)解析式為y＝3x－2；由上述可得，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0，－2)，yH＝－2，∵xC·xD＝2，xC·xD＝－yH，即結(jié)論②成立; 　　(2)結(jié)論①仍成立．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(t，0)(t＞0)，則點(diǎn)B坐標(biāo)為(2t，0)，從而點(diǎn)C坐標(biāo)為(t，t2)，點(diǎn)D坐標(biāo)為(2t，4t2)，設(shè)直線OC的函數(shù)解析式為y＝kx，則t2＝kt，得k＝t，∴直線OC的函數(shù)解析式為y＝tx，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2t，y)，∵點(diǎn)M在直線OC上，∴當(dāng)x＝2t時(shí)，y＝2t2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2t，2t2)，∴S△CMD∶S梯形ABMC＝·2t2·t∶(t2＋2t2)＝2∶3，∴結(jié)論①仍成立. 　　(3)xC·xD＝－·yH．由題意，當(dāng)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2(a＞0)，且點(diǎn)A坐標(biāo)為(t，0)(t＞0)時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(t，at2)，點(diǎn)D坐標(biāo)為(2t，4at2)，設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，則，得，∴直線CD的函數(shù)解析式為y＝3atx－2at2．則點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0，－2at2)，yH＝－2at2，∵xC·xD＝2t2，∴xC·xD＝－yH．