【題目】如圖,在菱形ABCD中,點P在對角線AC上,且PA=PD,⊙O是△PAD的外接圓.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若AC=8,tan∠BAC= ,求⊙O的半徑.
【答案】
(1)解:連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,如圖,
∵PA=PD,
∴弧AP=弧DP,
∴OP⊥AD,AE=DE,
∴∠1+∠OPA=90°,
∵OP=OA,
∴∠OAP=∠OPA,
∴∠1+∠OAP=90°,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴∠1=∠2,
∴∠2+∠OAP=90°,
∴OA⊥AB,
∴直線AB與⊙O相切;
(2)解:連結(jié)BD,交AC于點F,如圖,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴DB與AC互相垂直平分,
∵AC=8,tan∠BAC= ,
∴AF=4,tan∠DAC= = ,
∴DF=2 ,
∴AD= =2 ,
∴AE= ,
在Rt△PAE中,tan∠1= = ,
∴PE= ,
設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣ ,OA=R,
在Rt△OAE中,∵OA2=OE2+AE2,
∴R2=(R﹣ )2+( )2,
∴R= ,
即⊙O的半徑為 .
【解析】(1)連結(jié)OP、OA,OP交AD于E,由PA=PD得弧AP=弧DP,根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD,AE=DE,則∠1+∠OPA=90°,而∠OAP=∠OPA,所以∠1+∠OAP=90°,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠1=∠2,所以∠2+∠OAP=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切;(2)連結(jié)BD,交AC于點F,根據(jù)菱形的性質(zhì)得DB與AC互相垂直平分,則AF=4,tan∠DAC= ,得到DF=2 ,根據(jù)勾股定理得到AD= =2 ,求得AE= ,設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R﹣ ,OA=R,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和解直角三角形的相關(guān)知識點,需要掌握菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半;解直角三角形的依據(jù):①邊的關(guān)系a2+b2=c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點。
(1)利用圖中的條件,求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的x的取值范圍。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,AB∥DC,連接BD,BE平分∠ABD,BE⊥AD,∠EBC和∠DCB的角平分線相交于點F,若∠ADC=110°,則∠F的度數(shù)為( 。
A. 115° B. 110° C. 105° D. 100°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,△ABO≌△ADO,下列結(jié)論:①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,點M是BE的中點,連接CM、DM.
(1)當(dāng)點D在AB上,點E在AC上時(如圖一),求證:DM=CM,DM⊥CM;
(2)當(dāng)點D在CA延長線上時(如圖二)(1)中結(jié)論仍然成立,請補全圖形(不用證明);
(3)當(dāng)ED∥AB時(如圖三),上述結(jié)論仍然成立,請加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們定義:
(概念理解)
在一個三角形中,如果一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的 4 倍,那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”.如:三個內(nèi)角分別為 130°,40°,10°的三角形是“完美三角形”.
(簡單應(yīng)用)
如圖 1,∠MON=72°,在射線OM上找一點A,過點A作AB⊥OM 交ON于點B,以A為端點作射線AD,交線段OB 于點C(點 C不與 O,B重合)
(1)∠ABO= ,△AOB__________(填“是”或“不是”)“完美三角形”;
(2)若∠ACB=90°,求證:△AOC是“完美三角形”.
(應(yīng)用拓展)
如圖 2,點D在△ABC 的邊AB上,連接DC,作∠ADC的平分線交AC于點E,在DC上取點F,使,.若△BCD是“完美三角形”, 求∠B的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩個工程隊共同修建一條公路,從兩端同時開始,到工程結(jié)束時,甲工程 隊共施工了天,乙隊在中途接到緊急任務(wù)停止施工一段時間,回來后按照以前的施工 速度繼續(xù)施工至結(jié)束,設(shè)甲、乙兩工程隊各自施工的長度分別為(米),(米),甲 隊施工的時間為(天),,與之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)這條公路的總長度是______米;
(2)求乙隊在恢復(fù)施工后,與之間的函數(shù)表 達式;
(3)求在修建該條公路的過程中,甲、乙兩隊共同修建完米長時甲隊施工的天數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與坐標(biāo)軸分別交于,兩點,以線段為邊,在第一象限內(nèi)作正方形,將正方形沿軸負方向,平移個單位長度,使點恰好落在直線上,則的值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為解決部分市民冬季集中取暖問題需鋪設(shè)一條長3000米的管道,為盡量減少施工對交通造成的影響,實施施工時“…”,設(shè)實際每天鋪設(shè)管道x米,則可得方程 ,根據(jù)此情景,題中用“…”表示的缺失的條件應(yīng)補為( )
A.每天比原計劃多鋪設(shè)10米,結(jié)果延期15天才完成
B.每天比原計劃少鋪設(shè)10米,結(jié)果延期15天才完成
C.每天比原計劃多鋪設(shè)10米,結(jié)果提前15天才完成
D.每天比原計劃少鋪設(shè)10米,結(jié)果提前15天才完成
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