Question

如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標(biāo)；
（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O₁、A₁、C₁、B₁，得到如圖2的梯形O₁A₁B₁C₁．設(shè)梯形O₁A₁B₁C₁的面積為S，A₁、B₁的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．用含S的代數(shù)式表示x₂-x₁，并求出當(dāng)S=36時點A₁的坐標(biāo)；
（3）在圖1中，設(shè)點D坐標(biāo)為（1，3），動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了O、A、B的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進而可得到其對稱軸方程和頂點M的坐標(biāo)．
（2）在兩條直線平移的過程中，梯形的上下底發(fā)生了改變，但是梯形的高沒有變化，仍為3，即y₂-y₁=3，可根據(jù)拋物線的解析式，用x₁、x₂表示出y₁、y₂，然后聯(lián)立y₂-y₁=3，可得到第一個關(guān)于x₁、x₂的關(guān)系式①；在兩條直線平移過程中，拋物線的對稱軸沒有變化，可用x₁、x₂以及拋物線的對稱軸解析式表示出梯形上下底的長，進而可得到梯形面積的表達式，這樣可得到另外一個x₁、x₂的關(guān)系式②，聯(lián)立兩個關(guān)系式，即可得到關(guān)于（x₂-x₁）與S的關(guān)系式③，將S=36代入②③的關(guān)系式中，即可列方程組求得x₁、x₂的值，進而可求出A點的坐標(biāo)．
（3）要解答此題，首先要弄清幾個關(guān)鍵點：
一、當(dāng)PQ∥AB時，設(shè)直線AB與拋物線對稱軸的交點為E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的長，而E點坐標(biāo)易求得，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可得到此時t的值即t=

15

7

；
二、當(dāng)P、Q都停止運動時，顯然BC＞DM，所以此時t=DM÷1=3

1

8

；
可分兩種情況討論：
①當(dāng)0＜t＜

15

7

時，設(shè)直線PQ與直線AB的交點為F，與x軸的交點為G；由題意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x軸，則∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可證得△DPQ∽△DEB，DB、DE的長已求得，可用t表示出DP、DQ的長，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可求得此時t的值；
②當(dāng)

15

7

＜t＜3

1

8

時，方法同①；
在求得t的值后，還要根據(jù)各自的取值范圍將不合題意的解舍去．

解答：解：（1）對稱軸：直線x=1，
解析式：y=

1

8

x²-

1

4

x，
頂點坐標(biāo)：M（1，-

1

8

）．

（2）由題意得y₂-y₁=3，y₂-y₁=

1

8

x

2 2

-

1

4

x2-

1

8

x

2 1

+

1

4

x1=3，
得：（x₂-x₁）[

1

8

（x₂+x₁）-

1

4

]=3①，
s=

2(x1-1+x2-1)×3

2

=3（x₁+x₂）-6，
得：x₁+x₂=

s

3

+2②，
把②代入①并整理得：x₂-x₁=

72

s

（S＞0），
當(dāng)s=36時，

x2+x1=14 x2-x1=2

，
解得：

x1=6 x2=8

，
把x₁=6代入拋物線解析式得y₁=3，
∴點A₁（6，3）．

（3）存在
易知直線AB的解析式為y=

3

4

x-

3

2

，可得直線AB與對稱軸的交點E的坐標(biāo)為（1，-

3

4

），
∴BD=5，DE=

15

4

，DP=5-t，DQ=t，
當(dāng)PQ∥AB時，

DQ

DE

=

DP

DB

，

t

15 4

=

5-t

5

，
得t=

15

7

，
下面分兩種情況討論：設(shè)直線PQ與直線AB、x軸的交點分別為點F、G；
①當(dāng)0＜t＜

15

7

時，如圖1-1；
∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA=∠FEQ，
∴∠DPQ=∠DEB；易得△DPQ∽△DEB，
∴

DQ

DB

=

DP

DE

，
∴

t

5

=

5-t

15 4

，
得t=

20

7

＞

15

7

，
∴t=

20

7

（舍去）；
②當(dāng)

15

7

＜t＜3

1

8

時，如圖1-2；
∵△FQE∽△FAG，
∴∠FAG=∠FQE，
∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，
∴∠DQP=∠DBE，易得△DPQ∽△DEB，
∴

DQ

DB

=

DP

DE

，
∴

t

5

=

5-t

15 4

，
∴t=

20

7

；
∴當(dāng)t=

20

7

秒時，使直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到：二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的性質(zhì)、圖形面積的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識；在（3）題中能夠正確的畫出圖形，并準(zhǔn)確的找到所求的三角形是解答此題的關(guān)鍵．