Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，直線交軸于點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn)．為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，求的最大值；

（3）設(shè)為直線上的點(diǎn)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成平行四邊形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）能構(gòu)成，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（2，4）或或或．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；

（2）求出OA和OE的長(zhǎng)后易證，由相似三角形的性質(zhì)可得，于是可轉(zhuǎn)化為，只要求出PN的最大值即可，可設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則PN的長(zhǎng)可用含m的代數(shù)式表示，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出PN的最大值，進(jìn)一步即可求出結(jié)果；

（3）分情況討論：當(dāng)CE為邊時(shí)，則CE=PF，CE∥PF，易得CE=2，再分點(diǎn)在直線上方和點(diǎn)在直線下方，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，由PF=2可得關(guān)于m的方程，解方程即可求出m，進(jìn)而可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)；當(dāng)CE為對(duì)角線時(shí)，如圖，則CP=EF，CP∥EF，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，表示出點(diǎn)P、F坐標(biāo)后，由平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可得關(guān)于m的方程，解方程即可求出m，進(jìn)而可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，

，解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）在直線中，當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，，∴，

軸，軸，

，，

，

，

，，

，

設(shè)，

軸，，

點(diǎn)在直線上方，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)的最大值=；

（3）由題意得：當(dāng)CE為邊時(shí)，若以，，，為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成平行四邊形，則CE=PF，CE∥PF，

當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，設(shè)，則，

∵，

∴，

∴，解得：m=0（舍去）或m=2，

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（2，4）；

當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，，

∴，解得：或，

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)是或；

當(dāng)CE為對(duì)角線時(shí)，如圖，若以，，，為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成平行四邊形，則CP=EF，CP∥EF，

此時(shí)可設(shè)，則由可得，

由得：，

解得：m=0（舍去）或m=2，

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)是；

綜上所述，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成平行四邊形，且點(diǎn)F的坐標(biāo)是（2，4）或或或．