Question

如圖直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

(1)求BC的長；

(2)動點P從點B出發(fā)，以1 cm/s的速度沿B→A→D方向向點D運動；動點Q從點C出發(fā)，以1 cm/s的速度沿C→D方向向點D運動；過點Q作QF⊥BC于點F．若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒．問：在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)過點D作DE⊥BC于點E 　　∵四邊形ABCD是直角梯形 　　∴四邊形ABED是矩形 　　∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝8　　(1分) 　　在Rt△DEC中，CE＝＝＝6　　(2分) 　　∴BC＝8　　(3分) 　　(2)(i)當0≤t≤8時，過點Q 　　作QG⊥AB于點G，過點Q作QF⊥CB于點F． 　　∵BP＝t，CQ＝t， 　　∴AP＝8－t，DQ＝10－t　　(4分) 　　∵DE⊥BC，QF⊥CB 　　∴△CQF∽△CDE 　　∴ 　　∴　∴CF＝，QF＝， 　　∴PG＝＝，QG＝8－ 　　∴＝(8－t)2＋22＝t2＋16t＋68， 　　∴PQ2＝QG2＋PG2＝(8－)2＋()2＝ 　　若DQ＝PD，則(10－t)2＝t2＋16t＋68，解得：t＝8　　(6分) 　　若DQ＝PQ，則(10－t)2＝， 　　解得：t1＝，t2＝＞8(舍去)， 　　此時t＝　　(8分) 　　(ii)當8＜t＜10時，PD＝DQ＝10－t， 　　∴此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立　　(9分) 　　而當t＝10時，點P、D、Q三點重合，無法構(gòu)成三角形　　(10分) 　　綜上，當t＝或8≤t＜10時，以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形．