Question

某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不超過45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=65時(shí)，y=55；x=75時(shí)，y=45．
（1）若該商場(chǎng)獲利為w元，試寫出利潤(rùn)w與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式，售價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可以獲利最大，最大利潤(rùn)為多少元？
（2）若該商場(chǎng)獲利不低于500元，試確定銷售單價(jià)x的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先用待定系數(shù)法求出y與x之間的一次函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)利潤(rùn)=銷售量×（銷售單價(jià)-成本）得到W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出商場(chǎng)獲得的最大利潤(rùn)以及獲得最大利潤(rùn)時(shí)的售價(jià)．
（2）由w=500推出x²-180x+7700=0解出x的值即可．
解答：解：（1）將 ，代入y=kx+b中 ，
解得：，
∴y=-x+120，
∴W=（-x+120）（x-60），
W=-x²+180x-7200，
W=-（x-90）²+900，
又∵60≤x≤60×（1+45%），
即60≤x≤87，
則x=87時(shí)獲利最多，
將x=87代入，得W=-（87-90）²+900=891元；
答：售價(jià)定為87元時(shí)，商場(chǎng)可以獲利最大，最大利潤(rùn)為891元；

（2）由W≥500，得500≤-x²+180x-7200，
整理得，x²-180x+7700≤0，
而方程x²-180x+7700=0的解為 x₁=70，x₂=110，
即x₁=70，x₂=110時(shí)利潤(rùn)為500元，而函數(shù)y=-x²+180x-7200的開口向下，所以要使該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于500元，銷售單價(jià)應(yīng)在70元到110元之間，
而60元/件≤x≤87元/件，所以，銷售單價(jià)x的范圍是70元/件≤x≤87元/件．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，先用待定系數(shù)法求出銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系，然后求出利潤(rùn)W與x之間的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及題目中對(duì)銷售單價(jià)的要求，求出最大利潤(rùn)和最大利潤(rùn)時(shí)的單價(jià)．