【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)三點(diǎn).

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)點(diǎn)D是該二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn),且滿足DBA=CAO(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動(dòng)點(diǎn),連接PA分別交BC,y軸與點(diǎn)E、F,若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2,求S1-S2的最大值.

【答案】

【解析】

試題分析:(1)由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí),則可知當(dāng)CDAB時(shí),滿足條件,由對(duì)稱性可求得D點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí),可證得BDAC,利用AC的解析式可求得直線BD的解析式,再聯(lián)立直線BD和拋物線的解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo);

(3)過(guò)點(diǎn)P作PHy軸交直線BC于點(diǎn)H,可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),從而可表示出PH的長(zhǎng),可表示出PEB的面積,進(jìn)一步可表示出直線AP的解析式,可求得F點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立直線BC和PA的解析式,可表示出E點(diǎn)橫坐標(biāo),從而可表示出CEF的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得S1-S2的最大值.

試題解析:(1)由題意可得,解得,

拋物線解析式為y=-

(2)當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí),過(guò)C作CDAB交拋物線于點(diǎn)D,如圖1,

A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,C、D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

四邊形ABDC為等腰梯形,

∴∠CAO=DBA,即點(diǎn)D滿足條件,

D(3,2);

當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí),

∵∠DBA=CAO,

BDAC,

C(0,2),

可設(shè)直線AC解析式為y=kx+2,把A(-1,0)代入可求得k=2,

直線AC解析式為y=2x+2,

可設(shè)直線BD解析式為y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=-8,

直線BD解析式為y=2x-8,

聯(lián)立直線BD和拋物線解析式可得

,解得,

D(-5,-18);

綜上可知滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,2)或(-5,-18);

(3)過(guò)點(diǎn)P作PHy軸交直線BC于點(diǎn)H,如圖2,

設(shè)P(t,-t+2),

由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=-

H(t,-),

PH=yP-yH=-

=-,

設(shè)直線AP的解析式為y=px+q,

,解得,

直線AP的解析式為y=(-t+2)(x+1),令x=0可得y=2-t,

F(0,2-t),

CF=2-(2-t)=t,

聯(lián)立直線AP和直線BC解析式可得

,解得x=,即E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

S1=PH(xB-xE)=(-t2+2t)(5-),S2=,

S1-S2=(-t2+2t)(5-)-=-t2+5t=-(t-2+,

當(dāng)t=時(shí),有S1-S2有最大值,最大值為

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點(diǎn)P為拋物線C2對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PAC的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

如圖2,點(diǎn)E在拋物線C2上點(diǎn)O與點(diǎn)M之間運(yùn)動(dòng),四邊形OBCE的面積是否存在最大值?若存在,求出面積的最大值和點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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