Question

【題目】如圖在銳角△ABC中，BC＝6，高AD＝4，兩動點(diǎn)M、N分別在AB、AC上滑動(不包含端點(diǎn))，且MN∥BC，以MN為邊長向下作正方形MPQN，設(shè)MN＝x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y．

(1)如圖(1)，當(dāng)正方形MPQN的邊P恰好落在BC邊上時，求x的值；

(2)如圖(2)，當(dāng)PQ落△ABC外部時，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(寫出x的取值范圍)并求出x為何值時y最大，最大是多少？

Answer 1

【答案】(1)x=2.4；(2)如圖(2)當(dāng)x＝3時，y有最大值，最大值是6．

【解析】

（1）利用相似三角形的判定和性質(zhì)列比例式求解；（2）利用相似三角形的判定和性質(zhì)列比例式求正方形MPQN與△ABC公共部分的長和寬，從而列出函數(shù)關(guān)系式并求最值.

(1)當(dāng)PQ恰好落在邊BC上時，

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC

∴，

∵以MN為邊長向下作正方形MPQN

∴GD=MN=4

即，

∴x＝ ．

(2)設(shè)BC分別交MP，NQ于E，F，則四邊形MEFN為矩形．

設(shè)ME＝NF＝h，AD交MN于G(如圖2)GD＝NF＝h，AG＝4﹣h．

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC．

∴，即，，

∴h＝x+4．

∴y＝MNNF＝x(x+4)＝x2+4x(2.4＜x＜6)，

配方得：y＝(x﹣3)2+6．

∴當(dāng)x＝3時，y有最大值，最大值是6．