Question

【題目】如圖，已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，弦CE交AB于點(diǎn)，連結(jié)OE，AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．
（1）求證：CE⊥AB；
（2）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；
（3）若BD=2OD，且PB=9，求⊙O的半徑長(zhǎng)和tan∠P的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∴∠COB=2∠CAB，

又∠POE=2∠CAB．

∴∠COD=∠EOD，

又∵OC=OE，

∴∠ODC=∠ODE=90°，

即CE⊥AB；

（2）證明：證明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，

∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，

又∠OCD=∠E，

∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，

∴PC是⊙O的切線(xiàn)；

（3）解：設(shè)⊙O的半徑為r，OD=x，則BD=2x，r=3x，

∵CD⊥OP，OC⊥PC，

∴Rt△OCD∽R(shí)t△OPC，

∴OC2=ODOP，即（3x）2=x（3x+9），

解之得x= ，

∴⊙O的半徑r= ，

同理可得PC2=PDPO=（PB+BD）（PB+OB）=162，

∴PC=9 ，

在Rt△OCP中，tan∠P= = ．

【解析】（1）只要證明∠DOC=∠DOE，利用等腰三角形的三線(xiàn)合一即可證明；（2）欲證明PC是⊙O的切線(xiàn)，只要證明∠OCP=90°即可；（3）設(shè)⊙O的半徑為r，OD=x，則BD=2x，r=3x，易證得Rt△OCD∽R(shí)t△OPC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得OC2=ODOP，即（3x）2=x（3x+9），解出x，即可得圓的半徑；同理可得PC2=PDPO=（PB+BD）（PB+OB）=162，可計(jì)算出PC，然后在Rt△OCP中，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠P的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解垂徑定理的相關(guān)知識(shí)，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，以及對(duì)解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．