Question

如圖，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點A（4，0），B（2，2）．連接OB，AB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；
（3）將△OAB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)135°得到△OA′B′，寫出△OA′B′的邊A′B′的中點P的坐標．試判斷點P是否在此拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求出拋物線的解析式；
（2）過B作BC⊥x軸于C，根據(jù)A、B的坐標易求得OC=BC=AC=2，由此可證得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°，即可證得△OAB是等腰直角三角形；
（3）當△OAB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)135°時，OB′正好落在y軸上，易求得OB、AB的長，即可得到OB′、A′B′的長，從而可得到A′、B′的坐標，進而可得到A′B′的中點P點的坐標，然后代入拋物線中進行驗證即可．

解答：解：（1）由題意得

16a+4b=0 4a+2b=2

，
解得

a=- 1 2 b=2

；
∴該拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+2x；

（2）過點B作BC⊥x軸于點C，則OC=BC=AC=2；
∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；
∴∠OBA=90°，OB=AB；
∴△OAB是等腰直角三角形；

（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA=4，
∴OB=AB=2

2

；
由題意得：點A′坐標為（-2

2

，-2

2

）
∴A′B′的中點P的坐標為（-

2

，-2

2

）；
當x=-

2

時，y=-

1

2

×（-

2

）²+2×（-

2

）≠-2

2

；
∴點P不在二次函數(shù)的圖象上．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的判定、圖形的旋轉(zhuǎn)變化等知識．