【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),△ABC的邊BC在y軸的正半軸上,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,8),將△ABC沿直線AB折疊,點(diǎn)C落在x軸的負(fù)半軸D(﹣4,0)處.
(1)求直線AB的解析式;
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒4 個單位長度的速度沿射線AB方向運(yùn)動,過點(diǎn)P作PQ⊥AB,交x軸于點(diǎn)Q,PR∥AC交x軸于點(diǎn)R,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t(秒),線段QR長為d,求d與t的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)N是射線AB上一點(diǎn),以點(diǎn)N為圓心,同時經(jīng)過R、Q兩點(diǎn)作⊙N,⊙N交y軸于點(diǎn)E,F(xiàn).是否存在t,使得EF=RQ?若存在,求出t的值,并求出圓心N的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】
(1)
解:∵C(0,8),D(﹣4,0),
∴OC=8,OD=4,
設(shè)OB=a,則BC=8﹣a,
由折疊的性質(zhì)可得:BD=BC=8﹣a,
在Rt△BOD中,∠BOD=90°,DB2=OB2+OD2,
則(8﹣a)2=a2+42,
解得:a=3,
則OB=3,
則B(0,3),
tan∠ODB= = ,
由折疊的性質(zhì)得:∠ADB=∠ACB,
則tan∠ACB=tan∠ODB= ,
在Rt△AOC中,∠AOC=90°,tan∠ACB= = ,
則OA=6,
則A(6,0),
設(shè)直線AB的解析式為:y=kx+b,
則 ,
解得: ,
故直線AB的解析式為:y=﹣ x+3
(2)
解:在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OB=3,OA=6,
則AB= =3 ,tan∠BAO= = ,cos∠BAO= = ,
在Rt△PQA中,∠APQ=90°,AP=4 t,
則AQ= =10t,
∵PR∥AC,
∴∠APR=∠CAB,
由折疊的性質(zhì)得:∠BAO=∠CAB,
∴∠BAO=∠APR,
∴PR=AR,
∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°,
∴∠PQA=∠QPR,
∴RP=RQ,
∴RQ=AR,
∴QR= AQ=5t,
即d=5t;
(3)
解:過點(diǎn)分別作NT⊥RQ于T,NS⊥EF于S,
∵EF=QR,
∴NS=NT,
∴四邊形NTOS是正方形,
則TQ=TR= QR= t,
∴NT= AT= (AQ﹣TQ)= (10t﹣ t)= t,
分兩種情況,
若點(diǎn)N在第二象限,則設(shè)N(n,﹣n),
點(diǎn)N在直線y=﹣ x+3上,
則﹣n=﹣ n+3,
解得:n=﹣6,
故N(﹣6,6),NT=6,
即 t=6,
解得:t= ;
若點(diǎn)N在第一象限,設(shè)N(N,N),
可得:n=﹣ n+3,
解得:n=2,
故N(2,2),NT=2,
即 t=2,
解得:t= .
故當(dāng)t= 或t= 時,QR=EF,N(﹣6,6)或(2,2).
【解析】(1)由C(0,8),D(﹣4,0),可求得OC,OD的長,然后設(shè)OB=a,則BC=8﹣a,在Rt△BOD中,由勾股定理可得方程:(8﹣a)2=a2+42 , 解此方程即可求得B的坐標(biāo),然后由三角函數(shù)的求得點(diǎn)A的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式;(2)在Rt△AOB中,由勾股定理可求得AB的長,繼而求得∠BAO的正切與余弦,由PR∥AC與折疊的性質(zhì),易證得RQ=AR,則可求得d與t的函數(shù)關(guān)系式;(3)首先過點(diǎn)分別作NT⊥RQ于T,NS⊥EF于S,易證得四邊形NTOS是正方形,然后分別從點(diǎn)N在第二象限與點(diǎn)N在第一象限去分析求解即可求得答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、B都在數(shù)軸上,O為原點(diǎn).
(1)點(diǎn)B表示的數(shù)是_________________;
(2)若點(diǎn)B以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動,則2秒后點(diǎn)B表示的數(shù)是________;
(3)若點(diǎn)A、B分別以每秒1個單位長度、3個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動,而點(diǎn)O不動,t秒后,A、B、O三個點(diǎn)中有一個點(diǎn)是另外兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn),求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處.
(1)如圖1,將三角板的一邊ON與射線OB重合,過點(diǎn)O在三角板的內(nèi)部,作射線OC,使∠NOC:∠MOC=2:1,求∠AOC的度數(shù);
(2)如圖2,將三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度到圖2的位置,過點(diǎn)O在三角板MON的內(nèi)部作射線OC,使得OC恰好是∠MOB對的角平分線,此時∠AOM與∠NOC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)為( ,0)、(3 ,0)、(0,5),點(diǎn)D在第一象限,且∠ADB=60°,則線段CD的長的最小值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市今年的信息技術(shù)結(jié)業(yè)考試,采用學(xué)生抽簽的方式?jīng)Q定自己的考試內(nèi)容.規(guī)定:每位考生先在三個筆試題(題簽分別用代碼B1、B2、B3表示)中抽取一個,再在三個上機(jī)題(題簽分別用代碼J1、J2、J3表示)中抽取一個進(jìn)行考試.小亮在看不到題簽的情況下,分別從筆試題和上機(jī)題中隨機(jī)地抽取一個題簽.
(1)用樹狀圖或列表法表示出所有可能的結(jié)果;
(2)求小亮抽到的筆試題和上機(jī)題的題簽代碼的下標(biāo)(例如“B1”的下標(biāo)為“1”)為一個奇數(shù)一個偶數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
(1)寫出數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù);
(2)動點(diǎn)P、Q分別從A、C同時出發(fā),點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動,點(diǎn)Q以每秒1個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t(t>0)秒,t為何值時,原點(diǎn)O、與P、Q三點(diǎn)中,有一點(diǎn)恰好是另兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,使∠AOC=60°,將一把直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2,使點(diǎn)N在OC的反向延長線上,請直接寫出圖中∠MOB的度數(shù);
(2)將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部,且恰好平分∠BOC,求∠CON的度數(shù);
(3)將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖4,使ON在∠AOC的內(nèi)部,請?zhí)骄?/span>∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑為4,OA為半徑,CD為弦,OA與CD交于點(diǎn)M,將弧CD沿著CD翻折后,點(diǎn)A與圓心O重合,延長OA至P,使AP=OA,連接PC.
(1)求CD的長;
(2)求證:PC是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解下列方程:
(1)2(10﹣0.5y)=﹣(1.5y+2)
(2)(x﹣5)=3﹣(x﹣5)
(3)﹣1=
(4)x﹣(x﹣9)=[x+(x﹣9)]
(5) -=0.5x+2
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