【題目】已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,直線l經(jīng)過點A(不經(jīng)過點B或點C),點C關(guān)于直線l的對稱點為點D,連接BD,CD.
(1)如圖1,
①求證:點B,C,D在以點A為圓心,AB為半徑的圓上.
②直接寫出∠BDC的度數(shù)(用含α的式子表示)為______.
(2)如圖2,當α=60°時,過點D作BD的垂線與直線l交于點E,求證:AE=BD.
(3)如圖3,當α=90°時,記直線l與CD的交點為F,連接BF.將直線l繞點A旋轉(zhuǎn),當線段BF的長取得最大值時,直接寫出tan∠FBC的值.
【答案】(1)①證明見解析;②;(2)證明見解析;(3)tan∠FBC=.
【解析】
(1)①由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=AC=AB,即可證點B,C,D在以點A為圓心,AB為半徑的圓上;
②由圓周角定理可得∠BAC=2∠BDC,可求∠BDC的度數(shù);
(2)連接CE,由題意可證△ABC,△DCE是等邊三角形,可得AC=BC,∠DCE=60°=∠ACB,CD=CE,根據(jù)“SAS”可證△BCD≌△ACE,可得AE=BD;
(3)取AC的中點O,連接OB,OF,BF,由三角形的三邊關(guān)系可得,當點O,點B,點F三點共線時,BF最長,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求,OH=HC,BH=3HC,即可求tan∠FBC的值.
證明:(1)①如圖1,連接DA,
∵點C關(guān)于直線l的對稱點為點D,
∴AD=AC,且AB=AC,
∴AD=AB=AC,
∴點B,C,D在以點A為圓心,AB為半徑的圓上;
②∵點B,C,D在以點A為圓心,AB為半徑的圓上,
∴∠BDC=;
(2)如圖2,連接CE,
∵∠BAC=60°,AB=AC,
∴△ABC是等邊三角形,
∴BC=AC,∠ACB=60°,
∵∠BDC=,
∴∠BDC=30°,
∵BD⊥DE,
∴∠CDE=60°,
∵點C關(guān)于直線l的對稱點為點D,
∴DE=CE,且∠CDE=60°,
∴△CDE是等邊三角形,
∴CD=CE=DE,∠DCE=60°=∠ACB,
∴∠BCD=∠ACE,且AC=BC,CD=CE,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴BD=AE;
(3)如圖3,取AC的中點O,連接OB,OF,BF,
∵在△BOF中,BO+OF≥BC,
∴當點O,點B,點F三點共線時,BF最長,
如圖,過點O作OH⊥BC,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC=AC,∠ACB=45°,
∴∠COH=∠HCO=45°,
∴OH=HC,
∴OC=HC,
∵點O是AC中點,
∴AC=2HC,
∴BC=4HC,
∴BH=BC﹣HC=3HC,
∴tan∠FBC==.
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【題目】如圖,拋物線與軸交于兩點(點位于點的左側(cè)),與軸的負半軸交于點.
求點的坐標.
若的面積為.
①求這條拋物線相應(yīng)的函數(shù)解析式.
②在拋物線上是否存在一點使得?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,點E,F分別在AD,BC上,且AE=DE,BC=3BF,連接EF,將矩形ABCD沿EF折疊,點A恰好落在BC邊上的點G處,則cos∠EGF的值為_____.
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【題目】如圖,在中,,,,線段上一動點,以的速度從點出發(fā)向終點運動.過點作,交折線于點,以為一邊,在左側(cè)作正方形.設(shè)運動時間為,正方形與重疊部分面積為.
(1)________;
(2)當為何值時,點在上;
(3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(4)直線將面積分成兩部分時,直接寫出的取值范圍.
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【題目】如圖,等腰△ABC中,AB=AC=5cm,BC=8cm.動點D從點C出發(fā),沿線段CB以2cm/s的速度向點B運動,同時動點O從點B出發(fā),沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動,當其中一個動點停止運動時另一個動點也隨時停止.設(shè)運動時間為t(s),以點O為圓心,OB長為半徑的⊙O與BA交于另一點E,連接ED.當直線DE與⊙O相切時,t的取值是( )
A.B.C.D.
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【題目】一個不透明箱子中有2個紅球,1個黑球和1個白球,四個小球的形狀、大小完全相同.
(1)從中隨機摸取1個球,則摸到黑球的概率為 ;
(2)小明和小貝做摸球游戲,游戲規(guī)則如下.
你認為這個游戲公平嗎?請說明理由.
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【題目】今年新冠肺炎疫情發(fā)生以后,各級財政部門按照黨中央國務(wù)院的決策部署,迅速反 應(yīng)、及時應(yīng)對.2月14日下午,國務(wù)院聯(lián)防聯(lián)控機制就加大疫情防控財稅金融支持 力度召開新聞發(fā)布會.會上,財政部應(yīng)對疫情工作領(lǐng)導小組辦公室主任、社會保障 司司長符金陵透露,財政部建立了全國財政系統(tǒng)疫情防控經(jīng)費的日報制度,實時跟蹤各地方經(jīng)費保障情況,截至2月13日各級財政共計支出了805.5億元保障資金,其中805.5億元用科學記數(shù)法表示正確的是( )
A.元B.元
C.元D.元
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【題目】馬山被譽為“中國民間文化藝術(shù)之鄉(xiāng)”,馬山的民族文化豐富多彩,形式多樣.為了了解某學學生對馬山民族文化的喜愛情況,某校開展了“我最喜愛的民俗活動”調(diào)查問卷,其中包括:壯族三聲部民歌,壯族扁擔舞,會鼓,采茶舞.將調(diào)查問卷結(jié)果收集整理后,繪制了以下不完整的條形統(tǒng)計圖(圖①)和扇形統(tǒng)計圖(圖②),根據(jù)圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)這次抽樣調(diào)查中,一共抽查了名學生,項所對應(yīng)圓心角的度數(shù)為;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若九(1)班要從甲、乙、丙和丁這四人中選兩個人參與調(diào)查,請用列表法或畫樹狀圖法求出恰好選中甲乙的概率.
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【題目】山地自行車越來越受到中學生的喜愛,各種品牌相繼投放市場,某車行經(jīng)營的A型車去年銷售總額為5萬元,今年每輛銷售價比去年降低400元,若賣出的數(shù)量相同,銷售總額將比去年減少20%.
(1)今年A型車每輛售價多少元?(列方程解答)
(2)該車行計劃今年新進一批A型車和B型車共60輛,A型車的進貨價為每輛1100元,銷售價與(1)相同;B型車的進貨價為每輛1400元,銷售價為每輛2000元,且B型車的進貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍,應(yīng)如何進貨才能使這批車獲利最多?
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