【題目】如圖,已知△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)A,C在x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,m)(m>0),線段AB與y軸相交于點(diǎn)D,以P(1,0)為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)B,D.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)(用m表示);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn),連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,試證明:FC(AC+EC)為定值.

【答案】
(1)解:由B(3,m)可知OC=3,BC=m,又△ABC為等腰直角三角形,

∴AC=BC=m,OA=m﹣3,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3﹣m,0)


(2)解:∵∠ODA=∠OAD=45°

∴OD=OA=m﹣3,

則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,m﹣3).

又拋物線頂點(diǎn)為P(1,0),且過(guò)點(diǎn)B、D,

所以可設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣1)2,

得:

解得

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1


(3)解:方法一:

證明:過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N,

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(x,x2﹣2x+1),

則QM=CN=(x﹣1)2,MC=QN=3﹣x.

∵QM∥CE

∴△PQM∽△PEC

,得EC=2(x﹣1)

∵QN∥FC

∴△BQN∽△BFC

,得

又∵AC=4

∴FC(AC+EC)= [4+2(x﹣1)]= (2x+2)= ×2×(x+1)=8

即FC(AC+EC)為定值8.

方法二:

設(shè)Q(t,t2﹣2t+1),B(3,4),

設(shè)直線BQ:y=kx+b,

∴l(xiāng)BQ:y=(t+1)x+1﹣3t,

把y=0代入y=(t+1)x+1﹣3t,

∴x= ,即F( ,0),

∵P(1,0),Q(t,t2﹣2t+1),

∴l(xiāng)PQ:y=(t﹣1)x+1﹣t,

把x=3代入,∴y=2t﹣2,即E(3,2t﹣2),

∴FC(AC+EC)=(CX﹣FX)(CX﹣AX+EY﹣CY)=(3﹣ )(4+2t﹣2)=8.


【解析】(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)可先求OA,利用線段之差即可求出;(2)先把拋物線解析式設(shè)成頂點(diǎn)式,再把B(3,m)、D點(diǎn)坐標(biāo)(0,m-3)代入即可;(3) 線段的積可利用相似的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例,轉(zhuǎn)化為其他線段的積.

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A. B. C. D.

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①如果∠2=30°,則有ACDE;

②∠BAE+CAD =180°;

③如果BCAD,則有∠2=45°;

④如果∠CAD=150°,必有∠4=C;

正確的有( )

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

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A. 10 B. 12 C. 15 D. 17

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①HO=OF ②0F2=ON·OB③HM=2MG ④S△HOM= ,其中正確的個(gè)數(shù)有( )


A.1
B.2
C.3
D.4

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(1)請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法,求出這兩數(shù)和為6的概率.
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