【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,點(diǎn)D在AB邊上,△CDE是等邊三角形.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時(shí),CE與BE有何數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)時(shí),猜想CE與BE的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(3)再另畫(huà)一種情況,寫(xiě)出相應(yīng)結(jié)論.(不用證明)
【答案】(1)CE=BE,理由詳見(jiàn)解析;(2)CE=BE,證明詳見(jiàn)解析;(3)詳見(jiàn)解析
【解析】
(1)證出∠BCE=∠ABC,即可得出CE=BE;
(2)取AB的中點(diǎn)O,連接OC、OE,證△ACD≌△OCE(SAS),得出∠A=∠COE,證出∠COE=∠BOE,證△COE≌△BOE(SAS),即可得出CE=BE;
(3)當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外時(shí),CE=BE成立;取AB的中點(diǎn)O,連接OC、OE,同(2)得△ACD≌△OCE(SAS),得出∠A=∠COE=60°,證出∠COE=∠BOE,證△COE≌△BOE(SAS),即可得出CE=BE.
解:(1)CE=BE,理由如下:
∵△CDE是等邊三角形,
∴∠ACE=60°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE=90°﹣60°=30°,
∵∠ABC=30°,
∴∠BCE=∠ABC,
∴CE=BE;
(2)CE=BE,理由如下:
取AB的中點(diǎn)O,連接OC、OE,如圖2所示:
∵∠ACB=90°,
∴OC=AB=OA=OB,
∵∠ABC=30°,
∴∠A=60°,
∴△AOC是等邊三角形,
∴AC=OC,∠AOC=∠ACO=60°,
∴AC=OC=OB,
∵△CDE是等邊三角形,
∴CD=CE,∠DCE=60°,
∴∠ACO=∠DCE,
∴∠ACD=∠OCE,
在△ACD和△OCE中,
,
∴△ACD≌△OCE(SAS),
∴∠A=∠COE,
∵∠AOC=60°,
∴∠BOE=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠COE=∠BOE,
在△COE和△BOE中,
,
∴△COE≌△BOE(SAS),
∴CE=BE;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外時(shí),CE=BE成立;理由如下:
取AB的中點(diǎn)O,連接OC、OE,
同(2)得:△ACD≌△OCE(SAS),
∴∠A=∠COE=60°,
∴∠BOE=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠COE=∠BOE,
在△COE和△BOE中,
,
∴△COE≌△BOE(SAS),
∴CE=BE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=﹣x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸交于A(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C.以直線x=﹣1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a>0)經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn),與x軸正半軸交于點(diǎn)B.
(1)求一次函數(shù)及拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)P為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與C、A不重合)過(guò)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)D,連接CD,AD,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n,當(dāng)n為多少時(shí),△CDA的面積最大,最大面積為多少?
(3)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)E,使∠ACB=∠AEB?若存在,求點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).直線y=ax與拋物線y=ax2﹣2ax﹣1(a≠0)圍成的封閉區(qū)域(不包含邊界)為W.
(1)求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含a的式子表示);
(2)當(dāng)a=時(shí),寫(xiě)出區(qū)域W內(nèi)的所有整點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若區(qū)域W內(nèi)有3個(gè)整點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙,方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).
(1)在圖1中畫(huà)出等腰直角三角形MON,使點(diǎn)N在格點(diǎn)上,且∠MON=90°;
(2)在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)正方形ABCD,使正方形ABCD面積等于(1)中等腰直角三角形MON面積的4倍,并將正方形ABCD分割成以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形,且正方形ABCD面積沒(méi)有剩余(畫(huà)出一種即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一所中學(xué)九年級(jí)240名同學(xué)參加植樹(shù)活動(dòng),要求每人植4~7棵,活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽查了20名學(xué)生每人的植樹(shù)數(shù)量,所分四個(gè)類(lèi)別為,A:植4棵;B:植5棵;C:植6棵;D:植7棵.將各類(lèi)別人數(shù)繪制成扇形圖和條形圖.經(jīng)確認(rèn)扇形圖是正確的,而條形圖尚有一處錯(cuò)誤.
(1)指出條形圖中存在的錯(cuò)誤,并說(shuō)明理由.
(2)指出樣本的眾數(shù)、中位數(shù).
(3)估計(jì)在全年級(jí)隨機(jī)抽取1人,植樹(shù)5棵的概率.
(4)估計(jì)全年級(jí)240名同學(xué)這次共植樹(shù)多少棵.(精確到10棵)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知二次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)B(0, 4),與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)D.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求拋物線的頂點(diǎn)和點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△BOP的面積等于?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)?如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是( 。
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以Rt△ABC各邊為邊分別向外作等邊三角形,編號(hào)為①、②、③,將②、①如圖所示依次疊在③上,已知四邊形EMNC與四邊形MPQN的面積分別為9與7,則斜邊BC的長(zhǎng)為( )
A.5B.9C.10D.16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿(mǎn)分10分)
如圖,臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P,并沿東北方向PQ移動(dòng),已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為30千米/時(shí),受影響區(qū)域的半徑為200千米,B市位于點(diǎn)P的北偏東75°方向上,距離點(diǎn)P 320千米處.
(1) 說(shuō)明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B市;
(2)求這次臺(tái)風(fēng)影響B市的時(shí)間.
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