(2013•房山區(qū)一模)(1)如圖1,△ABC和△CDE都是等邊三角形,且B、C、D三點(diǎn)共線,聯(lián)結(jié)AD、BE相交于點(diǎn)P,求證:BE=AD.
(2)如圖2,在△BCD中,∠BCD<120°,分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF,聯(lián)結(jié)AD、BE和CF交于點(diǎn)P,下列結(jié)論中正確的是
①②③
①②③
(只填序號(hào)即可)
①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°;
(3)如圖2,在(2)的條件下,求證:PB+PC+PD=BE.
分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,求出∠BCE=∠ACD,證出△BCE≌△ACD即可;
(2)求出BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,∠BCE=∠ACD,證△BCE≌△ACD,推出BE=AD,∠BEC=∠ADC,同理△FDC≌△BDE,推出BE=CF,BE=AD=CF,根據(jù)△BCE≌△ACD推出∠CEP=∠CDA,求出∠DEP+∠CEP=∠CED=60°=∠CDP+∠DEP,即可求出∠DPE=60°,同理求出∠EPC=∠CPA=60°;
(3)在PE上截取PM=PC,聯(lián)結(jié)CM,求出∠1=∠2,求出△CPM是等邊三角形,推出CP=CM,∠PMC=60°,證△CPD≌△CME,推出PD=ME即可.
解答:(1)證明:∵△ABC和△CDE都是等邊三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCE=∠ACD,
∵在△BCE和△ACD中
BC=AC
∠BCE=∠ACD
CE=CD

∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴BE=AD;

(2)解:①②③都正確,
理由是:∵△ABC和△CDE都是等邊三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中
BC=AC
∠BCE=∠ACD
CE=CD

∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴BE=AD,∠BEC=∠ADC,∴②正確;
同理△FDC≌△BDE,
∴BE=CF,
∴BE=AD=CF,∴①正確;
∵△BCE≌△ACD,
∴∠CEP=∠CDA,
∵∠CED=∠CDE=60°,
∴∠DEP+∠CEP=∠CED=60°=∠CDP+∠DEP,
∴∠DPE=180°-60°-60°=60°,
同理∠EPC=∠CPA=60°,即∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°,∴③正確;
故答案為:①②③;

(3)證明:在PE上截取PM=PC,連接CM,

由(1)可知,△BCE≌△ACD(SAS)
∴∠1=∠2
設(shè)CD與BE交于點(diǎn)G,在△CGE和△PGD中,
∵∠1=∠2,∠CGE=∠PGD,
∴∠DPG=∠ECG=60°,
同理∠CPE=60°,
∴△CPM是等邊三角形,
∴CP=CM,∠PMC=60°.
∴∠CPD=∠CME=120°.
∵∠1=∠2,
∴△CPD≌△CME(AAS),
∴PD=ME,
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD,
即PB+PC+PD=BE.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,注意:全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,題目比較好,有一定的難度.
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