Question

【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，直線y=x+2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、C．拋物線y=﹣+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A與點(diǎn)C，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B．點(diǎn)D在該拋物線上，且位于直線AC的上方．

（1）求上述拋物線的表達(dá)式；

（2）聯(lián)結(jié)BC、BD，且BD交AC于點(diǎn)E，如果△ABE的面積與△ABC的面積之比為4：5，求∠DBA的余切值；

（3）過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CD．若△CFD與△AOC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+2；（2）；（3）（﹣，）或（﹣3，2）．

【解析】試題分析：（1）由直線得到A、C的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可得；

（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，由已知可得 ，從而可得、的長，然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得；

（3）分情況討論即可得.

試題分析：（1）由已知得A(-4，0)，C(0，2) ，

把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，

，∴ ，

∴ ；

（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，

由上可知B（1，0）， ∵，

∴ ，∴，

∴ ∴ ，

∵ ∴；

（3）∵DF⊥AC ， ∴，

①若，則CD//AO ， ∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，

把y=2代入得x=-3或x=0（舍去），

∴D(-3，2) ；

②若時(shí)，過點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CQ⊥DG交x軸于點(diǎn)Q，

∵ ，∴，

∴，∴，

設(shè)Q(m，0)，則 ， ∴ ， ∴，

易證：∽ ，∴ ，

設(shè)D(-4t，3t+2)代入得t=0(舍去)或者，

∴.