Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2+2x+=0有實數根，k為正整數．
（1）求k的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y=x2+2x+的圖象向下平移9個單位，求平移后的圖象的表達式；
（3）在（2）的條件下，平移后的二次函數的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B左側），直線y=kx+b（k＞0）過點B，且與拋物線的另一個交點為C，直線BC上方的拋物線與線段BC組成新的圖象，當此新圖象的最小值大于﹣5時，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2+2x+=0有實數根，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4×≥0，
∴k﹣1≤2，
∴k≤3，
∵k為正整數，
∴k的值是1，2，3；
（2）∵方程有兩個非零的整數根，
當k=1時，x2+2x=0，不合題意，舍去，
當k=2時，x2+2x+=0，
方程的根不是整數，不合題意，舍去，
當k=3時，x2+2x+1=0，
解得：x1=x2=﹣1，符合題意，
∴k=3，
∴y=x2+2x+1，
∴平移后的圖象的表達式y(tǒng)=x2+2x+1﹣9=x2+2x﹣8；
（3）令y=0，x2+2x﹣8=0，
∴x1=﹣4，x2=2，
∵與x軸交于點A，B（點A在點B左側），
∴A（﹣4，0），B（2，0），
∵直線l：y=kx+b（k＞0）經過點B，
∴函數新圖象如圖所示，當點C在拋物線對稱軸左側時，新函數的最小值有可能大于﹣5，
令y=﹣5，即x2+2x﹣8=﹣5，
解得：x1=﹣3，x2=1，（不合題意，舍去），
∴拋物線經過點（﹣3，﹣5），
當直線y=kx+b（k＞0）經過點（﹣3，﹣5），（2，0）時，
可求得k=1，
由圖象可知，當0＜k＜1時新函數的最小值大于﹣5．

【解析】（1）根據方程有實數根可得△≥0，求出k的取值范圍，然后根據k為正整數得出k的值；
（2）根據方程有兩個非零的整數根進行判斷，得出k=3，然后得出函數解析式，最后根據平移的性質求出平移后的圖象的表達式；
（3）令y=0，得出A、B的坐標，作出圖象，然后根據新函數的最小值大于﹣5，求出C的坐標，然后根據B、C的坐標求出此時k的值，即可得出k的取值范圍．
【考點精析】掌握二次函數的概念是解答本題的根本，需要知道一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數．