Question

關于二次函數y=2x²-mx+m-2，以下結論：①拋物線交x軸有交點；②不論m取何值，拋物線總經過點（1，0）；③若m＞6，拋物線交x軸于A、B兩點，則AB＞1；④拋物線的頂點在y=-2（x-1）²圖象上．其中正確的序號是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：由二次函數的解析式，找出二次項系數a，一次項系數b及常數項c，將a，b及c的值代入b²-4ac，利用完全平方公式化簡后，根據完全平方式恒大于等于0，可得出b²-4ac大于等于0，進而確定出該拋物線與x軸有交點，故①正確；將x=1代入拋物線解析式，求出y=0，可得出此拋物線恒過（1，0），故②正確；令拋物線解析式中y=0，得到關于x的一元二次方程，設方程的兩個解分別為x₁，x₂，利用根與系數的關系表示出x₁+x₂，x₁x₂，AB的長可以用|x₁-x₂|表示，利用二次根式的化簡根式=|a|變形后，再利用完全平方公式化簡，將表示出的x₁+x₂及x₁x₂代入，化簡后根據m大于6，可得出AB的長大于1，故③正確；利用頂點坐標公式表示出拋物線的頂點坐標，代入y=-2（x-1）²中經驗，可得出拋物線的頂點在y=-2（x-1）²圖象上，故④正確，綜上，得到正確的序號．
解答：解：二次函數y=2x²-mx+m-2，
∵a=2，b=-m，c=m-2，
∴b²-4ac=（-m）²-8（m-2）=（m-4）²≥0，
則拋物線與x軸有交點，故①正確；
∵當x=1時，y=2-m+m-2=0，
∴不論m取何值，拋物線總經過點（1，0），故②正確；
設A的坐標為（x₁，0），B（x₂，0），
令y=0，得到2x²-mx+m-2=0，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，
∴AB=|x₁-x₂|===||，
當m＞6時，可得m-4＞2，即＞1，
∴AB＞1，故③正確；
∵拋物線的頂點坐標為（，），
∴將x=代入得：y=-2（-1）²=-2（-+1）=，
∴拋物線的頂點坐標在y=-2（x-1）²圖象上，故④正確，
綜上，正確的序號有①②③④．
故選A
點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，以及二次函數的性質，涉及的知識有：拋物線與x軸交點的判斷方法，根與系數的關系，頂點坐標公式，以及判斷一個點是否在拋物線上，熟練掌握二次函數的性質是解本題的關鍵．