【題目】如圖①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過點C在△ABC外作直線MN,AM⊥MN于點M,BN⊥MN于點N.

(1)試說明:MN=AM+BN.

(2)如圖②,若過點C作直線MN與線段AB相交,AM⊥MN于點M,BN⊥MN于點N(AM>BN),(1)中的結論是否仍然成立?說明理由.

【答案】(1) 答案見解析;(2) 不成立

【解析】試題分析:(1)利用互余關系證明∠MAC=∠NCB,又∠AMC=∠CNB=90°AC=BC,故可證△AMC≌△CNB,從而有AM=CN,MC=BN,即可得出結論;

2)類似于(1)的方法,證明△AMC≌△CNB,從而有AM=CN,MC=BN,可推出AM、BNMN之間的數(shù)量關系.

試題解析:解:(1AMMN,BNMN,∴∠AMC=∠CNB=90°

∵∠ACB=90°,∴∠MAC+∠ACM=90°NCB+∠ACM=90°,∴∠MAC=∠NCB

在△AMC和△CNB中,∵∠AMCCNB,MACNCBACCB,∴△AMC≌△CNBAAS),AM=CNMC=NB

MN=NC+CM,MN=AM+BN;

2)圖(1)中的結論不成立,MN=BN-AM.理由如下:

AMMN,BNMN∴∠AMC=∠CNB=90°

∵∠ACB=90°,∴∠MAC+∠ACM=90°,NCB+∠ACM=90°,∴∠MAC=∠NCB

在△AMC和△CNB中,∵∠AMCCNB,MACNCB,ACCB,∴△AMC≌△CNBAAS),AM=CN,MC=NB

MN=CM-CNMN=BN-AM

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