Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AP，垂足為Q，連接CQ．

⑴證明：△ABP∽△BQP；

⑵當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，若∠BAC＝37°，求∠CQP的度數(shù)；

⑶當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，延長(zhǎng)BQ交CD于點(diǎn)F，若AQ＝AD，則等于多少．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠CQP＝53°；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可判斷．

（2）只要證明△CPQ∽△APC，可得∠PQC＝∠ACP即可解決問(wèn)題．

（3）連接AF．與Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），推出DF＝QF，設(shè)AD＝AQ＝BC＝m，DF＝FQ＝x，FC＝y，CQ＝a，證明△BCQ∽△CFQ，可得，推出，即＝，由CF∥AB，可得，推出，可得，推出x2+xy﹣y2＝0，解得或（舍棄），由此即可解決問(wèn)題．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABP＝90°，

∵BQ⊥AP，

∴∠BQP＝∠ABP＝90°，

∵∠BPQ＝∠APB，

∴△ABP∽△BQP．

（2）解：∵△ABP∽△BQP，

∴，

∴PB2＝PQPA，

∵PB＝PC，

∴PC2＝PQPA，

∴，

∵∠CPQ＝∠APC，

∴△CPQ∽△APC，

∴∠PQC＝∠ACP，

∵∠BAC＝37°，

∴∠ACB＝90°﹣37°＝53°，

∴∠CQP＝53°．

（3）解：連接AF．

∵∠D＝∠AQF＝90°，AF＝AF，AD＝AQ，

∴Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），

∴DF＝QF，設(shè)AD＝AQ＝BC＝m，DF＝FQ＝x，FC＝y，CQ＝a，

∵∠BCF＝∠CQB＝∠CQF＝90°，

∴∠BCQ+∠FCQ＝90°，∠∠CBQ＝90°，

∴∠FCQ＝∠CBQ，

∴△BCQ∽△CFQ，

,

,

,

∵CF∥AB，

,

,

,

∴x2+xy﹣y2＝0，

∴x＝y或y（舍棄），

,

,

故答案是：．