Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+6交x軸于A（﹣2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

（1）求a，b的值；

（2）連接BC，點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥x軸，過點(diǎn)P作PD⊥BC于交直線AD于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，AD長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式（請(qǐng)求出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，DP與BC交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)Q為直線DP上方拋物線上一點(diǎn)，連接AP、PC，若DP=CE，∠QPC=∠APD時(shí)，求點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）a=-1，b=1；（2）d=﹣t2+t+5（0＜t＜3）；（3）點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q（1，6）或Q（﹣， ）．

【解析】試題分析：

（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可求得a、b的值；

（2）如下圖2、過點(diǎn)P作PG⊥DE于點(diǎn)K，交x軸于點(diǎn)G，作DK⊥PG于點(diǎn)K，則由已知條件易得∠BCO=∠PDK，由此可得tan∠PDK==tan∠BCO，結(jié)合OB=3，OC=6，DK=t+2可得PK=DK=（t+2）；再證四邊形ADKG是矩形可得KG=AD=d=PG-PK結(jié)合PG=-t2+t+6即可得到d與t間的函數(shù)關(guān)系式了，由點(diǎn)P在第一象限的圖象上可得0<t<3；

（3）如下圖3，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H交y軸于點(diǎn)R，由已知條件易證△PHD≌△CNE，從而可得PH=CN，結(jié)合CN=OC-ON，PH=t+2可得關(guān)于t的方程t+2=t2﹣t+1，解方程可得t1=2，t2=﹣（舍），把t=2代入拋物線y=﹣x2+x+6=4，可得點(diǎn)P（2，4），由此可得PR=CR，PH=AH，從而可得∠APC=90°結(jié)合∠QPC=∠APD可得∠QPD=90°，然后分點(diǎn)P在第一象限的拋物線上和第三象限的拋物線上兩種情況討論計(jì)算即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

試題解析：

（1）∵拋物線y=ax2+bx+6過點(diǎn)A（﹣2，0），B（3，0），則

，解得： ，

故拋物線解析式為y=﹣x2+x+6；

（2）如下圖2，過點(diǎn)P作PG⊥x于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DK∥x軸交PG于點(diǎn)K，

∵PD⊥BC，DE⊥y軸，∠BCO=∠PDK，OB=3，OC=6

∴tan∠BCO=tan∠PDK=，DK=t+2，PK=DK=（t+2），

∵DK∥AB，AD⊥AB，

∴四邊形ADKG為矩形，

∴AD=KG，

d=AD=KG=PG﹣PK=﹣t2+t+6﹣（t+2）=﹣t2+t+5（0＜t＜3）；

（3）如圖3，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，

在△PHD與△CNE中， ，

∴△PHD≌△CNE，

∴PH=CN=OC﹣ON，

∵四邊形ADON為矩形，

∴CN=6﹣（﹣t2+t+5）=t2﹣t+1，PH=t+2，

∴t+2=t2﹣t+1，

解得t1=2，t2=﹣（舍），

把t=2代入拋物線y=﹣x2+x+6=4，

∴點(diǎn)P（2，4），

∵PH與y軸交于點(diǎn)R，PR=CR=2，

∴∠CPR=45°，PH=AH=4，

∴∠APH=45°，

∴∠APC=90°，

∵∠QPC=∠APD，

∴∠QPD=90°，

當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時(shí)，過點(diǎn)Q作QL⊥PH于點(diǎn)L，

∴∠LQP=∠HPD，

∴tan∠LQP=tan∠HPD=，

設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣m2+m+6），則PL=2﹣m，QL=﹣m2+m+2，則

=，

解得m1=1，m2=2（舍），

把m=1 代入﹣m2+m+6=6，

∴Q（1，6），

當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時(shí)，過點(diǎn)Q作QM⊥PH，

∵∠CPH=∠APH=45°∠QPC=∠APD，

∴∠QPM=∠DPH tan∠QPM=tan∠DPH=，

設(shè)點(diǎn)Q（n，﹣n2+n+6）PM=2﹣n QM=﹣n2+n+2，

∴=，

解得n1=﹣，n2=2（舍），

把n=1﹣代入﹣n2+n+6=，

∴Q（﹣， ）．

綜上所述，點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q（1，6）或Q（﹣， ）．