Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，點E是BC延長線上一點，連接DE，過點B作BF⊥DE于點F，連接FC

．

（1）求證：∠FBC=∠CDF．

（2）作點C關于直線DE的對稱點G，連接CG，FG．

①依據題意補全圖形；

②用等式表示線段DF，BF，CG之間的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ①見解析；②BF=DF+CG，理由見解析.

【解析】分析：（1）由∠FBC+∠COB=90°，∠CDF+∠DOF=90°，根據等角的余角相等證明即可；

（2）①根據題意畫出圖形即可；②結論：BF=DF+CG．利用截長補短法，構造相似三角形解決問題即可；

詳解：（1）證明：如圖1中，設CD交BF于點O．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCO=90°，

∵BF⊥DE，

∴∠OFD=∠OCB=90°，

∴∠FBC+∠COB=90°，∠CDF+∠DOF=90°，

∵∠DOF=∠BOC，

∴∠FBC=∠CDF．

（2）解：①如圖2中，

②結論：BF=DF+CG．

理由：在線段FB上截取FM，使得FM=FD．

∵∠BDC=∠MDF=45°，

∴∠BDM=∠CDF，

∵==，

∴△BDM∽△CDF，

∴==，∠DBM=∠DCF，

∴BM=CF，

∴∠CFE=∠FCD+∠CDF=∠DBM+∠BDM=∠DMF=45°，

∴∠EFG=∠EFC=45°，

∴∠CFG=90°，

∵CF=FG，

∴CG=CF，

∴BM=CG，

∴BF=BM+FM=CG+DF．