Question

如圖，設(shè)拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（-1，0），B（m，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），且∠ACB=90度．
（1）求m的值和拋物線(xiàn)的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（1，n）在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)y=x+1交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)E，求點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與三角形AEB相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）∠ACB=90°，那么可在直角三角形ACB中，用射影定理求出OB的長(zhǎng)，即可得出m的值和B點(diǎn)的坐標(biāo)．然后將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中即可求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
（2）將點(diǎn)D代入拋物線(xiàn)中，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．然后聯(lián)立拋物線(xiàn)和直線(xiàn)y=x+1的函數(shù)關(guān)系式可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）可根據(jù)A和E的坐標(biāo)求出AE的長(zhǎng)，同理可求出AB的長(zhǎng)，不難得出∠EAB=∠OBD=45°，那么要想使兩三角形相似，無(wú)非有兩種情況：

EA

DB

=

AB

PB

或

EA

PB

=

AB

DB

，可根據(jù)AE、AB、BD的長(zhǎng)求出PB的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OP的長(zhǎng)，也就得出了P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在直角△ABC中，
∵CO⊥AB
∴OC²=OA．OB
∴2²=1×m即m=4
∴B（4，0）．
把A（-1，0）B（4，0）分別代入y=ax²+bx-2，
并解方程組得a=

1

2

，b=-

3

2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）把D（1，n）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2得n=-3，
∴D（1，-3）
解方程組

y=x+1 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

，
得

x1=6 y1=7

x2=-1 y2=0

，
∴E（6，7）．

（3）作EH⊥x軸于點(diǎn)H，則EH=AH=7，
∴∠EAB=45°
由勾股定理得：BE=

53

，AE=7

2

，
作DM⊥x軸于點(diǎn)M，則DM=BM=3，
∴∠DBM=45°由勾股定理得BD=3

2

．
假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足條件，
∵∠EAB=∠DBP=45°，
∴

EA

DB

=

AB

PB

或

EA

PB

=

AB

DB

，
即

7 2

3 2

=

5

PB

或

7 2

PB

=

5

3 2

，
∴PB=

15

7

或PB=

42

5

，OP=4-

15

7

=

13

7

或OP=4-

42

5

=-

22

5

．
∴在x軸上存在點(diǎn)P₁（

13

7

，0），P₂（-

22

5

，0）滿(mǎn)足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，要注意（3）中要根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的不同來(lái)分類(lèi)求解，不要漏解．