(2012•岳陽)如圖,AB為半圓O的直徑,AD、BC分別切⊙O于A、B兩點,CD切⊙O于點E,AD與CD相交于D,BC與CD相交于C,連接OD、OC,對于下列結論:①OD2=DE•CD;②AD+BC=CD;③OD=OC;④S梯形ABCD=
1
2
CD•OA;⑤∠DOC=90°,其中正確的是( 。
分析:連接OE,由AD,DC,BC都為圓的切線,根據(jù)切線的性質得到三個角為直角,且利用切線長定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代換可得出CD=AD+BC,選項②正確;由AD=ED,OD為公共邊,利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而這四個角之和為平角,可得出∠DOC為直角,選項⑤正確;由∠DOC與∠DEO都為直角,再由一對公共角相等,利用兩對對應角相等的兩三角形相似,可得出三角形DEO與三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DE•CD,選項①正確;又ABCD為直角梯形,利用梯形的面積計算后得到梯形ABCD的面積為
1
2
AB(AD+BC),將AD+BC化為CD,可得出梯形面積為
1
2
AB•CD,選項④錯誤,而OD不一定等于OC,選項③錯誤,即可得到正確的選項.
解答:解:連接OE,如圖所示:

∵AD與圓O相切,DC與圓O相切,BC與圓O相切,
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,
∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC,
∴CD=DE+EC=AD+BC,選項②正確;
在Rt△ADO和Rt△EDO中,
OD=OD
DA=DE

∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL),
∴∠AOD=∠EOD,
同理Rt△CEO≌Rt△CBO,
∴∠EOC=∠BOC,
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,
∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°,選項⑤正確;
∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC,
∴△EDO∽△ODC,
OD
DC
=
DE
OD
,即OD2=DC•DE,選項①正確;
而S梯形ABCD=
1
2
AB•(AD+BC)=
1
2
AB•CD,選項④錯誤;
由OD不一定等于OC,選項③錯誤,
則正確的選項有①②⑤.
故選A
點評:此題考查了切線的性質,切線長定理,相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,以及梯形面積的求法,利用了轉化的數(shù)學思想,熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵.
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