Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝mx＋2m+3的圖像與y＝－x的圖像交于點(diǎn)C，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－3，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．

（1）求m的值與AB的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)D（9，0），連結(jié)BD，求證△ABD為直角三角形.

（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為等腰三角形，若存在請(qǐng)求出P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=；；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，（6－，0）或（6＋，0）或（0,﹣6）或（0，）.

【解析】

（1）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，即可求出m，然后分別求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)；

（2）先計(jì)算出AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求出BD，再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可證出△ABD為直角三角形；

（3）根據(jù)等腰三角形的腰的情況分類討論，然后分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

解：（1）將x=－3代入y＝－x中得：y=

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（－3，）

將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝mx＋2m+3中，得：＝－3m＋2m+3

解得：m=

∴一次函數(shù)的解析式為：y＝x＋6

當(dāng)x=0時(shí)，y=6，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣4

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0,6），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0）

∴OB=6，OA=4

根據(jù)勾股定理：AB=；

（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)D點(diǎn)坐標(biāo)為（9，0）

∴AD=9－（﹣4）=13

根據(jù)勾股定理：BD=

∵AB2+BD2=169，AD2=169

∴AB2+BD2= AD2

∴△ABD為直角三角形

（3）存在，

①若BP=BA時(shí)

如下圖所示，此時(shí)也有兩種情況，

∵AB=，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,6）

∴P1的坐標(biāo)為（6－，0），P2的坐標(biāo)為（6＋，0）；

②若AB=AP時(shí)，如下圖所示：

∵AO⊥BP

∴BO=OP

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,﹣6）；

③若BP=AP時(shí)，如下圖所示

設(shè)OP=x，則PB=PA=6－x

根據(jù)勾股定理：

即：

解得：

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）

綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（6－，0）或（6＋，0）或（0,﹣6）或（0，）.