Question

在等邊△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ED=EC.

(1)、若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，如圖1，求證：AE=DB.

(2)、若點(diǎn)E不是AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，試確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程.

Answer 1

(1)、見(jiàn)解析；(2)、AE=DB

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)得出∠D=∠ECB=30°，根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠BED=30°，從而說(shuō)明BD=BE，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出BE=AE，從而說(shuō)明結(jié)論；(2)、過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，證明△DBE和△EFC全等，從而得出結(jié)論.

試題解析：（1）在等邊△ABC中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴CE平分∠ACB.

∵∠ACB=60°，且ED=EC. ∴∠D=∠ECB=30°.

∵∠ABC=∠D+∠BED，∠D=30° ∴∠BED=30° ∴BD=BE

又∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE ∴AE=BD

(2)、過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB. ∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形

∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°， ∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF

在△DEB和△ECF中，∠DEB=∠ECF，∠DBE=∠EFC，DE=EC， ∴△DEB≌△ECF.

∴BD=EF=AE，即AE=BD.

考點(diǎn)：三角形全等的證明.