Question

已知：如圖，拋物線y=ax²-5ax+b+

5

2

與直線y=

1

2

x+b交于點A（-3，0）、點B，與y軸交于點C．
（1）求拋物線與直線的解析式；
（2）在直線AB上方的拋物線上有一點D，使得△DAB的面積是8，求點D的坐標；
（3）若點P是直線x=1上一點，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²-5ax+b+

5

2

與直線y=

1

2

x+b交于點A（-3，0），將A點的坐標值代入，首先確定b值，再確定出a值．進而得到拋物線與直線的解析式．
（2）假設(shè)點D的橫坐標為t（-3＜t＜5），因為點D在拋物線y=ax²-5ax+b+

5

2

上，所以點D的縱坐標為-

1

6

t2+

5

6

t+4．再過點D作y軸的平行線交AB于E．因而點D、點E的橫坐標相同，且縱坐標可以通過直線AB的解析式表示出來．因而S_△DAB就可以通過DE的距離（點D、E縱坐標的差值的絕對值）與點A、B橫坐標的差值絕對值表示出來．
（3）存在符合條件的點P共有3個．因而分三類情形探求．
①以AB為腰且頂角為∠A：△P₁AB；②以AB為腰且頂角為∠B：△P₂AB；③以AB為底，頂角為∠P的△PAB有1個，即△P₃AB．
綜上得出符合條件的點．

解答：解：（1）將A（-3，0）代入y=

1

2

x+b，
y=ax2-5ax+b+

5

2

，
得b=

3

2

，a=-

1

6

，
則拋物線解析式為y=-

1

6

x2+

5

6

x+4，
直線AB的解析式為y=

1

2

x+

3

2

，
得：B（5，4），C（0，4）；

（2）如圖，設(shè)點D的橫坐標為t（-3＜t＜5），
則點D的縱坐標為-

1

6

t2+

5

6

t+4．過點D作y軸的平行線交AB于E，
∴點E的坐標為(t，

1

2

t+

3

2

)，
∴DE=(-

1

6

t2+

5

6

t+4)-(

1

2

t+

3

2

)=-

1

6

t2+

1

3

t+

5

2

，
∴S△DAB=

1

2

×(-

1

6

t2+

1

3

t+

5

2

)×8=-

2

3

t2+

4

3

t+10=8，
解得t₁=-1，t₂=3，
∴D₁（-1，3），D₂（3，5）；

（3）存在符合條件的點P共有4個．以下分三類情形探求．
由A（-3，0），B（5，4），C（0，4），可得BC∥x軸，BC=AC，
設(shè)直線x=1與x軸交于N，與CB交于M，
過點B作BQ⊥x軸于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=4，BM=4，
①以AB為腰且頂角為∠A：△P₁AB．
∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80，
在Rt△ANP₁中，
P1N=

AP12-AN2

=

AB2-AN2

=

80-42

=8，
∴P₁（1，-8）或P₁′（1，8），
②以AB為腰且頂角為∠B：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中，MP2=

BP22-BM2

=

AB2-BM2

=

80-42

=8，
∴P₂（1，-4）或P₂′（1，12），
③以AB為底，頂角為∠P的△PAB有1個，即△P₃AB．
畫AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于P₃，此時平分線必過等腰△ABC的頂點C．
過點P₃作P₃K垂直y軸，垂足為K，顯然Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．
∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．
∵P₃K=1，
∴CK=2，于是OK=2，
∴P₃（1，2），
而P₃（1，2）在線段AB上，構(gòu)不成三角形，舍去．
綜上，符合條件的點P共有4個，分別為：P₁（1，-8），P₁′（1，8），P₂（1，-4），P₂′（1，12）．

點評：（1）考查的是用待定系數(shù)法求拋物線與直線的解析式．
（2）根據(jù)三角形的面積求動點坐標，主要是找到變化量、及不變量，進而得到動點坐標．
（3）是一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，需根據(jù)三角形的頂點分類討論，全面考慮點P所在位置的各種情況．