【題目】已知:如圖,是的直徑,是的弦,為上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,交弦于點(diǎn),交于點(diǎn),且.
求證:是的切線;
如果,,,求半徑的長(zhǎng).
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)連接OC,由OA=OC,DC=DE,利用等邊對(duì)等角得到兩對(duì)角相等,根據(jù)DM垂直于AC,得到一對(duì)角互余,等量代換得到∠OCD=90°,即可得到DC為圓O的切線;
(2)過(guò)D作DG垂直于AC,連接CB,利用三線合一得到G為CE中點(diǎn),由CE長(zhǎng)求出EG長(zhǎng),利用對(duì)頂角相等得到∠DEG=∠AEM,確定出cos∠DEG=cos∠AEM,在直角三角形DEG中,利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng),再利用勾股定理求出DG的長(zhǎng),由DM-DE求出EM的長(zhǎng),由一對(duì)直角相等,一對(duì)對(duì)頂角相等得到三角形AEM與三角形DEG相似,由相似得比例求出AM與AE的長(zhǎng),AE+EC求出AC的長(zhǎng),由AB為圓的直徑,得到三角形ABC為直角三角形,利用銳角三角函數(shù)定義表示出cosA,即可求出AB的長(zhǎng),進(jìn)而確定出圓的半徑.
證明:如圖,連結(jié),
∵,,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴是的切線;
如圖所示,過(guò)作,連接,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,即,
∴,,
∴,
∵為圓的直徑,
∴,
∴,
∴,
則圓的半徑為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國(guó)古代算法的扛鼎之作.《九章算術(shù)》中記載:“今有五雀、六燕,集稱之衡,雀俱重,燕俱輕.一雀一燕交而處,衡適平.并燕、雀重一斤.問(wèn)燕、雀一枚各重幾何?”
譯文:“今有5只雀、6只燕,分別聚集而且用衡器稱之,聚在一起的雀重,燕輕.將一只雀、一只燕交換位置而放,重量相等.5只雀、6只燕重量為1斤.問(wèn)雀、燕毎只各重多少斤?”
設(shè)每只雀重x斤,每只燕重y斤,可列方程組為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,于點(diǎn),的平分線分別交、于、兩點(diǎn),為的中點(diǎn),的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),連接,下列結(jié)論:①為等腰三角形;②;③;④.其中正確的結(jié)論有( )
A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N.
(1)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1),求證:M為AN的中點(diǎn);
(2)將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖2),求證:△ACN為等腰直角三角形;
(3)將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí),(2)中的結(jié)論是否仍成立?若成立,試證明之,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=,AC=,BC=,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M為EF中點(diǎn),則AM的最小值為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖反映是小明從家去食堂吃早餐,接著去圖書(shū)館讀報(bào),然后回家的過(guò)程.其中x表示時(shí)間,y表示小明離家的距離,小明家、食堂、圖書(shū)館在同一直線上.根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)食堂離小明家___________km;
(2)小明在食堂吃早餐用了 分鐘,在圖書(shū)館讀報(bào)用了______min;
(3)由圖象知:_________位于________和__________之間( 填“小明家”、“食堂”、“圖書(shū)館” )
(4)求小明從圖書(shū)館回家的平均速度是多少千米/時(shí)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),點(diǎn)D是⊙O外一點(diǎn),AD=AB,AD交⊙O于F,BD交⊙O于E,連接CE交AB于G.
(1)證明:∠C=∠D;
(2)若∠BEF=140°,求∠C的度數(shù);
(3)若EF=2,tanB=3,求CECG的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng),過(guò)程如下:設(shè).現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間,并使小棒兩端分別落在射線、上.
活動(dòng)一、如圖甲所示,從點(diǎn)開(kāi)始,依次向右擺放小棒,使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直(為第1根小棒)
數(shù)學(xué)思考:
(1)小棒能無(wú)限擺下去嗎?答: (填“能”或“不能”)
(2)設(shè),求的度數(shù);
活動(dòng)二:如圖乙所示,從點(diǎn)開(kāi)始,用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放,其中為第一根小棒,且.
數(shù)學(xué)思考:
(3)若已經(jīng)擺放了3根小棒,則 , , ;(用含的式子表示)
(4)若只能擺放5根小棒,則的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案,已知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用,表示直角三角形的兩直角邊(),下列四個(gè)說(shuō)法:
①,②,③,④.
其中說(shuō)法正確的是 …………………………………………………………( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
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