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【題目】我們知道，直線與圓有三種位置關系：相交、相切、相離.類比直線與圓的位置關系，給出如下定義：與坐標軸不平行的直線與拋物線有兩個公共點叫做直線與拋物線相交；直線與拋物線有唯一的公共點叫做直線與拋物線相切，這個公共點叫做切點；直線與拋物線沒有公共點叫做直線與拋物線相離.

(1)記一次函數的圖像為直線，二次函數的圖像為拋物線，若直線與拋物線相交，求的取值范圍；

(2)若二次函數的圖像與軸交于點、，與軸交于點，直線l與CB平行，并且與該二次函數的圖像相切，求切點P的坐標.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將一次函數解析式代入二次函數解析式中可得出關于x的一元二次方程，由直線與拋物線相交可得出關于b的一元一次不等式，解之即可得出b的取值范圍；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點B，C的坐標，利用待定系數法可求出直線BC的解析式，設直線l的解析式為y=x+a，將一次函數解析式代入二次函數解析式中可得出關于x的一元二次方程，由直線與拋物線相切可得出關于a的一元一次方程，解之可得出a的值，解方程組即可求出點P的坐標．

（1）將y=2x+b代入y=x2，整理得：x2﹣2x﹣b=0．

∵直線l與拋物線C相交，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣b）＞0，解得：b＞﹣1．

（2）當x=0時，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴點C的坐標為（0，﹣3）；

當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0）．

設直線BC的解析式為y=mx+n（m≠0），將B（3，0），C（0，﹣3）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y=x﹣3．

設直線l的解析式為y=x+a．

將y=x+a代入y=x2﹣2x﹣3，整理得：x2﹣3x﹣（3+a）=0．

∵直線l與二次函數y=x2﹣2x﹣3的圖象相切，∴△=（﹣3）2﹣4×1×[﹣（3+a）]=0，解得：a．

當a時，解方程組 ，得：，∴點P的坐標為（）．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過點B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑AO的延長線交于點E，過點A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點F．

（1）求證：△ACF∽△DAE；

（2）若S△AOC=，求DE的長；

（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線．

【答案】(1) 見解析; (2)3 ;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據圓周角定理得到∠BAC=90°，根據三角形的內角和得到∠ACB=60°根據切線的性質得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據S△AOC=，得到S△ACF=，通過△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面積公式列方程即可得到結論；

（3）根據全等三角形的性質得到OE=OF，根據等腰三角形的性質得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，根據全等三角形的性質得到OG=OA，即可得到結論．

試題解析：（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°

∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切線，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切線，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30，∵∠DAE=ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；

（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF，∴OC=CF，∵S△AOC=，∴S△ACF=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴，∵△ACF∽△DAE，∴=，∴S△DAE=，過A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴S△ADE=DEAH=×=，∴DE=；

（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠OEB=∠AFO，在△AOF與△BOE中，∵∠OBE=∠OAF，∠OEB=∠AFO，OA=OB，∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF，∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，在△AOF與△OGF中，∵∠OAF=∠OGF，∠AFO=∠GFO，OF=OF，∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切線．

【題型】解答題
【結束】
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標分別是A（0，2）和C（2，0），點D是對角線AC上一動點（不與A，C重合），連結BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．

（1）填空：點B的坐標為　 　；

（2）是否存在這樣的點D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；

（3）①求證：；

②設AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關于x的函數關系式（可利用①的結論），并求出y的最小值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】已知，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點P是AB延長線上一點，連接CP．

(1)如圖1，若∠PCB＝∠A．

①求證：直線PC是⊙O的切線；

②若CP＝CA，OA＝2，求CP的長；

(2)如圖2，若點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，MNMC＝9，求BM的值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】為了解本學期初三期中調研測試數學試題的命題質量與難度系數，命題教師選取了一個水平相當的初三年級進行分析研究，隨機抽取部分學生成績(得分為整數，滿分為130分)分為5組:第一組55～70，第二組70～85，第三組85～100，第四組100～115，第五組115～130;統(tǒng)計后得到如圖所示的頻數分布直方圖(每組含最小值不含最大值)和扇形統(tǒng)計圖，觀察圖形的信息，回答下列問題:

(1)本次調查共隨機抽取了該年級多少名學生?并將頻數分布直方圖補充完整;

(2)若將得分轉化為等級，規(guī)定:得分低于70分評為“D”，70～100分評為“C”，100～115分評為“B”，115～130分評為“A”，那么該年級1500名考生中，考試成績評為“B”的學生大約有多少名?

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】某校同學組織了一次經典朗讀比賽，甲、乙兩隊各10人的比賽成績如下表（10分制）：

甲

乙

（1）甲隊成績的中位數是 分，乙隊成績的眾數是 分；

（2）計算乙隊的平均成績和方差；

（3）已知甲隊成績的方差是分2，則成績較為整齊的是 隊．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數圖象的一部分如圖所示，給出以下結論：；當時，函數有最大值；方程的解是，；，其中結論錯誤的個數是　　

A. 1B. 2C. 3D. 4

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】已知，四邊形ABCD內接于，對角線AC和BD相交于點E，AC是的直徑．

如圖1，連接OB和OD，求證：；

如圖2，延長BA到點F，使，在AD上取一點G，使，連接FG和FC，過點G作，垂足為M，過點D作，垂足為N，求的值；

如圖3，在的條件下，點H為FG的中點，連接DH交于點K，連接AK，若，，求線段BC的長．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，分別以等邊三角形 ABC 的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形就是“勒洛三角形”（勒洛 三角形是定寬曲線所能構成的面積最小的圖形)，若 AB=2，則勒洛三角形的面積為( )

A. π+ B. π-C. 2π+2 D. 2π-2

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】為了解某中學學生課余生活情況，對喜愛看課外書、體育活動、看電視、社會實踐四個方面的人數進行調查統(tǒng)計，現(xiàn)從該校隨機抽取n名學生作為樣本，采用問卷調查的方式收集數據參與問卷調查的每名學生只能選擇其中一項，并根據調查得到的數據繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，由圖中提供的信息，解答下列問題：

補全條形統(tǒng)計圖；

若該校共有學生2400名，試估計該校喜愛看電視的學生人數．

若調查到喜愛體育活動的4名學生中有3名男生和1名女生，現(xiàn)從這4名學生中任意抽取2名，求恰好抽到2名男生的概率．

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