Question

【題目】綜合與探究

如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，直線BD與拋物線y=ax2+bx+3在第三象限交于點(diǎn)E（﹣4，y）點(diǎn)F是拋物線y=ax2+bx+3上的一點(diǎn)，且點(diǎn)F在直線BE上方，將點(diǎn)F沿平行于x軸的直線向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后恰好落在直線BE上的點(diǎn)G處．

（1）求拋物線y=ax2+bx+3的表達(dá)式，并求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為x（﹣4＜x＜4），解決下列問題：

①當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，求平移距離m的值；

②用含x的式子表示平移距離m，并求m的最大值；

（3）如圖2，過點(diǎn)F作x軸的垂線FP，交直線BE于點(diǎn)P，垂足為F，連接FD．是否存在點(diǎn)F，使△FDP與△FDG的面積比為1：2？若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣4，﹣6）；（2）①-1；②8；（3）見解析．

【解析】

（1）先將A（﹣2，0），B（4，0），代入y=ax2+bx+3求出a，b的值即可求出拋物線的表達(dá)式，再將E點(diǎn)坐標(biāo)代入表達(dá)式求出y的值即可；

（2）①設(shè)直線BD的表達(dá)式為y=kx+b，將B（4，0），E（﹣4，﹣6）代入求出k，b的值，再將x=0代入表達(dá)式求出D點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，可得G點(diǎn)坐標(biāo)，GF∥x軸，故可得F的縱坐標(biāo)， 再將y=﹣3代入拋物線的解析式求解可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)m=FG即可得m的值；

②設(shè)點(diǎn)F與點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)m=FG列出方程化簡(jiǎn)可得出m的二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象可得m的取值范圍；

（3）分別分析當(dāng)點(diǎn)F在x軸的左側(cè)時(shí)與右側(cè)時(shí)的兩種情況，根據(jù)△FDP與△FDG的面積比為1：2，故PD：DG=1：2．已知FP∥HD，則FH：HG=1：2．再分別設(shè)出F,G點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)系列出等式化簡(jiǎn)求解即可得F的坐標(biāo).

解：（1）將A（﹣2，0），B（4，0），代入y=ax2+bx+3得：，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+x+3，

把E（﹣4，y）代入得：y=﹣6，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣4，﹣6）．

（2）①設(shè)直線BD的表達(dá)式為y=kx+b，將B（4，0），E（﹣4，﹣6）代入得：，

解得：，

∴直線BD的表達(dá)式為y=x﹣3．

把x=0代入y=x﹣3得：y=﹣3，

∴D（0，﹣3）．

當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，G的坐標(biāo)為（0，﹣3）．

∵GF∥x軸，

∴F的縱坐標(biāo)為﹣3．

將y=﹣3代入拋物線的解析式得：﹣x2+x+3=﹣3，

解得：x=+1或x=﹣+1．

∵﹣4＜x＜4，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣+1，﹣3）．

∴m=FG=﹣1．

②設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+3），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x+m，（x+m）﹣3），

∴﹣x2+x+3=（x+m）﹣3，化簡(jiǎn)得，m=﹣x2+8，

∵﹣＜0，

∴m有最大值，

當(dāng)x=0時(shí)，m的最大值為8．

（3）當(dāng)點(diǎn)F在x軸的左側(cè)時(shí)，如下圖所示：

∵△FDP與△FDG的面積比為1：2，

∴PD：DG=1：2．

∵FP∥HD，

∴FH：HG=1：2．

設(shè)F的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+3），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣2x，﹣x﹣3），

∴﹣x2+x+3=﹣x﹣3，整理得：x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=﹣2或x=8（舍去），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣2，0）．

當(dāng)點(diǎn)F在x軸的右側(cè)時(shí)，如下圖所示：

∵△FDP與△FDG的面積比為1：2，

∴PD：DG=1：1．

∵FP∥HD，

∴FH：HG=1：1．

設(shè)F的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x+3），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2x， x﹣3），

∴﹣x2+x+3=x﹣3，整理得：x2+2x﹣16=0，

解得：x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，）．

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（﹣1，）．