【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),連接EM并延長(zhǎng)交線段CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)如圖1,求證:AE=DF;
(2)如圖2,若AB=2,過(guò)點(diǎn)M作 MG⊥EF交線段BC于點(diǎn)G,求證:△GEF是等腰直角三角形
(3)如圖3,若AB=2,過(guò)點(diǎn)M作 MG⊥EF交線段BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.判斷△GEF的形狀,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)△GEF是等邊三角形.證明見解析.
【解析】試題分析:(1)證明△AEM≌△DFM即可得;
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AD于H,通過(guò)證明△AEM≌△HMG從而得出
ME=MG,∠EGM=45°,再由△AEM≌△DFM得ME=MF.從而得到△GEF是等腰直角三角形.
(3)如圖3,△GEF是等邊三角形.證明△AEM∽△HMG從而得.
由tan∠MEG=得到∠MEG=60°. 由△AEM≌△DFM得到ME=MF.再由MG⊥EF得GE=GF.
從而確定△GEF是等邊三角形.
試題解析:(1)如圖1,在矩形ABCD中,∠EAM=∠FDM=90°,∠AME=∠FMD.
∵M是AD的中點(diǎn),∴AM=DM,
∴△AEM≌△DFM(ASA).
∴AE=DF.
(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AD于H,
∴∠A=∠B=∠AHG=90°,∴四邊ABGH為矩形,∴∠AME+∠AEM=90°,
∵MG⊥EF,∴∠GME=90°,∴∠AME+∠GMH=90°,∴∠AEM=∠GMH.
∵AD=4,M是AD的中點(diǎn),∴AM=2,
∵四邊ABGH為矩形,∴AB=HG=2,∴AM=HG,∴△AEM≌△HMG(AAS).
∴ME=MG,∴∠EGM=45°,
由(1)得△AEM≌△DFM,∴ME=MF.
∵MG⊥EF,∴GE=GF,∴∠EGF=2∠EGM=90°,∴△GEF是等腰直角三角形.
(3)如圖3,△GEF是等邊三角形.
過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,
∵∠A=∠B=∠AHG=90°,∴四邊形ABGH是矩形. ∴GH=AB=.
∵MG⊥EF,∴∠GME=90°.∴∠AME+∠GMH=90°.
∵∠AME+∠AEM=90°,∴∠AEM=∠GMH.
又∵∠A=∠GHM=90°,∴△AEM∽△HMG.∴ .
在Rt△GME中,∴tan∠MEG=.
∴∠MEG=60°. 由(1)得△AEM≌△DFM.∴ME=MF.∵MG⊥EF, ∴GE=GF.
∴△GEF是等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正三角形ABC內(nèi)接于⊙O,P是BC上的一點(diǎn),且PB<PC,PA交BC于E,點(diǎn)F是PC延長(zhǎng)線上的點(diǎn),CF=PB,AB=,PA=4.
(1)求證:△ABP≌△ACF;
(2)求證:AC2=PAAE;
(3)求PB和PC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】電腦鍵盤上的字母為何不按順序排列?請(qǐng)你來(lái)做一項(xiàng)統(tǒng)計(jì),下面是一篇小短文,根據(jù)短文中字母a,b出現(xiàn)的機(jī)會(huì)完成后面提出的問題:
Two Trips
Jack brought a small plane and began to fly it. He soon became excited and made his plane all kinds of tricks.
Jack had a friend,named Tom. One day Jack said to him,“I will pick you up in my plane.““I will be glad to.'answered Tom. They went up,and Jack flew around for half an hour and did all kinds of tricks in the air. Then they came down. Tom was to be back safely,and said to Jack,“Well,Jack,thank you very much for those two trips in your plane.“Jack was very surprised and asked,“Two trips?““Yes,my first and my last.'an﹣swered Tom.
根據(jù)上文填表
出現(xiàn)字母的個(gè)數(shù) | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 350 | 400 |
出現(xiàn)字母a的頻數(shù) | |||||||
出現(xiàn)字母a的頻率 | |||||||
出現(xiàn)字母b的頻數(shù) | |||||||
出現(xiàn)字母b的頻率 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)某班的學(xué)生喜歡各類體育活動(dòng),他們最喜歡的一項(xiàng)體育活動(dòng)情況見統(tǒng)計(jì)圖,現(xiàn)給出以下說(shuō)法:
①最受歡迎的球類運(yùn)動(dòng)是乒乓球;
②最喜歡排球的學(xué)生達(dá)到班級(jí)學(xué)生總數(shù)的;
③最喜歡羽毛球的學(xué)生達(dá)到班級(jí)學(xué)生總數(shù)的 .
其中正確的結(jié)論為( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,延長(zhǎng)BC,使CE=CD,連接DE,求證:BC+DC=AC.
思路點(diǎn)撥:
(1)由已知條件AB=AD,∠BAD=60°,可知:△ABD是三角形;
(2)同理由已知條件∠BCD=120°得到∠DCE= , 且CE=CD,可知;
(3)要證BC+DC=AC,可將問題轉(zhuǎn)化為兩條線段相等,即=;
請(qǐng)你先完成思路點(diǎn)撥,再進(jìn)行證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),中學(xué)生的身體素質(zhì)普遍下降,某校為了提高本校學(xué)生的身體素質(zhì),落實(shí)教育部門“在校學(xué)生每天體育鍛煉時(shí)間不少于1小時(shí)”的文件精神,對(duì)部分學(xué)生的每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),以下是本次調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.
組別 | A | B | C | D | E |
鍛煉時(shí)間t(分鐘) | t<40 | 40≤t<60 | 60≤t<80 | 80≤t<100 | t≥100 |
人數(shù) | 12 | 30 | a | 24 | 12 |
(1)本次被調(diào)查的學(xué)生數(shù)為 人;
(2)統(tǒng)計(jì)表中a的值為 ;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中C組所在扇形圓心角為 度;
(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)該校1200名學(xué)生每天體育鍛煉時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生人數(shù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某海域有A、B、C三艘船正在捕魚作業(yè),C船突然出現(xiàn)故障,向A、B兩船發(fā)出緊急求救信號(hào),此時(shí)B船位于A船的北偏西72°方向,距A船24海里的海域,C船位于A船的北偏東33°方向,同時(shí)又位于B船的北偏東78°方向.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)A船以每小時(shí)30海里的速度前去救援,問多長(zhǎng)時(shí)間能到出事地點(diǎn).(結(jié)果精確到0.01小時(shí)).
(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),連接AD,取AD的中點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線與CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接DF.
(1)求證:AF=DC;
(2)請(qǐng)問:AD與CF滿足什么條件時(shí),四邊形AFDC是矩形,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 三角形的角平分線把三角形分成面積相等的兩部分
B. 三角形的三條中線相交于一點(diǎn)
C. 直角三角形的三條高交于三角形的直角頂點(diǎn)處
D. 鈍角三角形的三條高所在直線的交點(diǎn)在三角形的外部
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