如圖1,在△ABC中,E、D分別為AB、AC上的點,且ED∥BC,O為DC中點,連結(jié)EO并延長交BC的延長線于點F,則有S四邊形EBCD=S△EBF
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(1)如圖2,在已知銳角∠AOB內(nèi)有一個定點P.過點P任意作一條直線MN,分別交射線OA、OB于點M、N.將直線MN繞著點P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn),當(dāng)直線MN滿足某個條件時,△MON的面積存在最小值.直接寫出這個條件:
 

(2)如圖3,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A、B、C、P的坐標分別為(6,0)、(6,3)、(
9
2
,
9
2
)、(4、2),過點P的直線l與四邊形OABC一組對邊相交,將四邊形OABC分成兩個四邊形,求其中以點O為頂點的四邊形面積的最大值.
分析:(1)當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點P是MN的中點時S△MON最小,過點M作MG∥OB交EF于G.由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論;
(2)①如圖3①過點P的直線l 與四邊形OABC 的一組對邊 OC、AB分別交于點M、N,由(1)的結(jié)論知,當(dāng)PM=PN時,△MND的面積最小,此時四邊形OANM的面積最大,S四邊形OANM=S△OAD-S△MND;
②如圖3②,過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N,利用S四邊形OCMN=S△OCT-S△MNT,進而得出答案.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點P是線段MN的中點時,△MON的面積最;
如圖2,
過點P的另一條直線EF交OA、OB于點E、F,設(shè)PF<PE,過點M作MG∥OB交EF于G,
可以得出當(dāng)P是MN的中點時S四邊形MOFG=S△MON
∵S四邊形MOFG<S△EOF,
∴S△MON<S△EOF,
∴當(dāng)點P是MN的中點時S△MON最。
故答案為:當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點P是線段MN的中點時,△MON的面積最;

(2)分兩種情況:
①如圖3①過點P的直線l 與四邊形OABC 的一組對邊 OC、AB分別交于點M、N.
延長OC、AB交于點D,
∵C(
9
2
,
9
2
),
∴∠COA=45°,
∴AD=6,S△OAD=18.
由(1)的結(jié)論知,當(dāng)PM=PN時,△MND的面積最小,此時四邊形OANM的面積最大.
過點P、M分別作PP1⊥OA,MM1⊥OA,垂足分別為P1、M1
由題意得M1P1=P1A=2,從而OM1=MM1=2. 又P(4,2),B(6,3)
∴P1A=M1P1=O M1=P1P=2,M1 M=OM=2,則四邊形MM1P1P是正方形.
∴MN∥OA,∠MND=90°,NM=4,DN=4.求得S△MND=8,
∴S四邊形OANM=S△OAD-S△MND=18-8=10,
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②如圖3②,過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N.
延長CB交x軸于T點,由B、C的坐標可得直線BC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 y=-x+9.
則T點的坐標為(9,0).
∴S△OCT=
1
2
×9×
9
2
=
81
4
,
由(1)的結(jié)論知:當(dāng)PM=PN時,△MNT的面積最小,此時四邊形OCMN的面積最大.
過點P、M點分別作PP1⊥OA,MM1⊥OA,垂足為P1,M1
從而 NP1=P1M1,MM1=2PP1=4.
∴點M的橫坐標為5,點P(4、2),P1M1=NP1=1,TN=6.
∴S△MNT=
1
2
×6×4=12,S四邊形OCMN=S△OCT-S△MNT=
81
4
-12=
33
4
<10.
綜上所述:截得四邊形面積的最大值為10.
點評:此題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)以及圖形面積求法等知識,利用分類討論得出四邊形面積最值是解題關(guān)鍵.
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(2)當(dāng)∠BAC=90°時,求證:
PE
CE
=
1
2
;
(3)如圖2,當(dāng)PC是圓O的切線,E為AD中點,BC=8,求AD的長.精英家教網(wǎng)

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BC2+CD2
;
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DE
BD
.如圖2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

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(1)求證:∠AOC=90°+
12
∠ABC;
(2)當(dāng)∠ABC=90°時,且AO=3OD(如圖2),判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

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