Question

（2013•吉安模擬）已知拋物線y=ax²+bx+3與y軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，二次函數(shù)y=ax²+bx+3的y與x的部分對應(yīng)值如下表：

x	…	-1	0	1	3	4	…
y	…	8		0	0		…

（1）拋物線的對稱軸是

直線x=2

．點(diǎn)A（

0

，

3

），B（

4

，

3

）；
（2）求二次函數(shù)y=ax²+bx+3的解析式；
（3）已知點(diǎn)M（m，n）在拋物線y=ax²+bx+3上，設(shè)△BAM的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式、畫出函數(shù)圖象．并利用函數(shù)圖象說明S是否存在最大值，為什么？

Answer 1

分析：（1）利用當(dāng)x=1和3時，y=0，得出拋物線的對稱軸是直線x=2，再利用x=0時，y=3，則點(diǎn)A（ 0，3 ），即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象過（1，0），（3，0）則設(shè)拋物線為y=a（x-1）（x-3），把（0，3）代入可得出a的值，進(jìn)而得出解析式；
（3）當(dāng)0＜m＜4時，點(diǎn)M到AB的距離為3-n，當(dāng)m＜0或m＞4時，點(diǎn)M到直線AB的距離為n-3，利用三角形面積得出S與m的函數(shù)關(guān)系式，利用圖象得出S是否存在最大值．

解答：解：（1）根據(jù)當(dāng)x=1和3時，y=0，得出拋物線的對稱軸是：直線x=2，
∵拋物線y=ax²+bx+3與y軸的交點(diǎn)為A，
∴x=0時，y=3，則點(diǎn)A（ 0，3 ），故B（4，3 ）；

（2）圖象過（1，0），（3，0），
設(shè)拋物線為y=a（x-1）（x-3），
把（0，3）代入可得：3=a（0-1）（0-3），
解得：a=1，
故二次函數(shù)y=ax²+bx+3的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（3）如圖1，∵AB∥x軸，AB=4，
當(dāng)0＜m＜4時，點(diǎn)M到AB的距離為3-n，
∴S_△ADM=

1

2

（3-n）×4=6-2n，
又∵n=m²-4m+3，S₁=-2m²+8m，
∴當(dāng)m＜0或m＞4時，點(diǎn)M到直線AB的距離為n-3，S₂=

1

2

×4（n-3）=2n-6，
而 n=m²-4m+3，S₂=2m²-8m，
S=

-2m2+8m (0＜m＜4) 2m2-8m  (m＜0或m＞4)

，
故函數(shù)圖象如圖2（x軸上方部分）所示，S不存在最大值，從圖象可知：當(dāng)m＜0或m＞4時，S的值可以無限大．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的對稱性以及利用交點(diǎn)式求函數(shù)解析式和三角形面積求法等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)值的情況是解題關(guān)鍵．