【題目】如圖1,在銳角△ABC中,∠ABC=45°,高線AD、BE相交于點F.
(1)判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由;
(2)如圖2,將△ACD沿線段AD對折,點C落在BD上的點M,AM與BE相交于點N,當(dāng)DE∥AM時,判斷NE與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
【答案】(1)BF=AC,理由見解析;(2)NE=AC,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)如圖1,證明△ADC≌△BDF(AAS),可得BF=AC;
(2)如圖2,由折疊得:MD=DC,先根據(jù)三角形中位線的推論可得:AE=EC,由線段垂直平分線的性質(zhì)得:AB=BC,則∠ABE=∠CBE,結(jié)合(1)得:△BDF≌△ADM,則∠DBF=∠MAD,最后證明∠ANE=∠NAE=45°,得AE=EN,所以EN=AC.
試題解析:
(1)BF=AC,理由是:
如圖1,∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADB=∠AEF=90°,
∵∠ABC=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=BD,
∵∠AFE=∠BFD,
∴∠DAC=∠EBC,
在△ADC和△BDF中,
∵,
∴△ADC≌△BDF(AAS),
∴BF=AC;
(2)NE=AC,理由是:
如圖2,由折疊得:MD=DC,
∵DE∥AM,
∴AE=EC,
∵BE⊥AC,
∴AB=BC,
∴∠ABE=∠CBE,
由(1)得:△ADC≌△BDF,
∵△ADC≌△ADM,
∴△BDF≌△ADM,
∴∠DBF=∠MAD,
∵∠DBA=∠BAD=45°,
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD,
即∠ABE=∠BAN,
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE,
∠NAE=2∠NAD=2∠CBE,
∴∠ANE=∠NAE=45°,
∴AE=EN,
∴EN=AC.
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【題目】體育委員把全班45名同學(xué)的體育鍛煉時間,并繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖,則全班45名同學(xué)一周的體育鍛煉總時間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.9,9
B.9,10
C.18,9
D.18,18
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【題目】已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,直線l過點M(3,0)且平行于y軸.
(1)作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1,并寫出△A1B1C1各頂點的坐標(biāo).
(2)如果點P的坐標(biāo)是(﹣a,0),其中a>0,點P關(guān)于y軸的對稱點是P1,點P1關(guān)于直線l的對稱點是P2,求P1P2的長.(用含a的代數(shù)式表示)
(3)通過計算加以判斷,PP2的長會不會隨點P位置的變化而變化.
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【題目】如圖,已知A、B兩個村莊的坐標(biāo)分別是(2,1)和(6,3),一輛汽車從原點O出發(fā),沿x軸向右行駛.
(1)當(dāng)汽車行駛到點M(___________)時離A村最近;
(2)當(dāng)汽車行駛到點N(____________)時離B村最近;
(3)當(dāng)汽車行駛到點P(___________)時離A、B兩村一樣近.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點E是AC上一點,連接BE.
(1)如圖1,若AB=4 ,BE=5,求AE的長;
(2)如圖2,點D是線段BE延長線上一點,過點A作AF⊥BD于點F,連接CD、CF,當(dāng)AF=DF時,求證:DC=BC.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y= x2﹣ x﹣ 與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E(4,n)在拋物線上.
(1)求直線AE的解析式;
(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點,連接PC,PE.當(dāng)△PCE的面積最大時,連接CD,CB,點K是線段CB的中點,點M是CP上的一點,點N是CD上的一點,求KM+MN+NK的最小值;
(3)點G是線段CE的中點,將拋物線y= x2﹣ x﹣ 沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經(jīng)過點D,y′的頂點為點F.在新拋物線y′的對稱軸上,是否存在一點Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過點A(2,﹣6),且與反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象交于點B(a,4)
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)將直線AB向上平移10個單位后得到直線l:y1=k1x+b1(k1≠0),l與反比例函數(shù)y2= 的圖象相交,求使y1<y2成立的x的取值范圍.
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【題目】如圖所示,直線AB、CE交于O,
(1)寫出∠AOC的對頂角和鄰補角;
(2)寫出∠COF的鄰補角;
(3)寫出∠BOF的鄰補角;
(4)寫出∠AOE的對頂角及其所有的鄰補角.
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