Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，與x軸交于另一點A，它的對稱軸x=2與x軸交于點C，直線y=2x+1經(jīng)過拋物線上一點B（m，-3），且與y軸、直線x=2分別交于點D，E。
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式并用配方法把這個解析式化成y=a（x-h）²+k的形式；
（2）求證：CD⊥BE；
（3）在對稱軸x=2上是否存在點P，使△PBE是直角三角形，如果存在，請求出點P的坐標(biāo)，并求出△PAB的面積；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵已知拋物線的對稱軸為x=2， ∴設(shè)拋物線的解析式為， 又∵直線經(jīng)過點B（m，-3）， ∴， 解得，m=-2， ∴點B（-2，-3）， 又∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O（0，0） B（-2，-3）， 解得， ∴拋物線的解析式為；
（2）由題意解方程組， 得 ∴點E的坐標(biāo)為（2，5）， ∴CE=5， 過點B作BF垂直于x軸于F，作BH垂直于直線x=2于H，交y軸于點Q， ∵點B（-2，-3），D（0，1）， ∴BF=3，BH=4，CH=BF=3，OD=1，EH=8，DQ=4， 在Rt△BHE，Rt△BQO，Rt△BHC中 有勾股定理得BE=，BD=，BC=， ∴BD=BE 又∵EC=5， ∴BC=CE， ∴CD⊥BE；
（3）結(jié)論：存在點P，使△PBE是直角三角形， ①當(dāng)∠BPE=90°時，點P與（2）中的點H重合， ∴此時點P的坐標(biāo)為（2，-3）； 延長BH與過點A（4，0）且與x軸垂直的直線交于M，則 ②當(dāng)∠EBP=90°時，設(shè)點P（2，y）， ∵E（2，5），H（2，-3），B（-2，-3）， ∴BH=4，EH=8，PH=-3-y， 在Rt△PBE中，BH⊥PE，可證得△BHP∽△EHB， ，即，解得， 此時點P的坐標(biāo)為（2，-5）， 過點P與x軸平行的直線與FB的延長線交于點N， 則 綜合①，②知點P的坐標(biāo)為（2，-3），△PAB的面積為6；或點P的坐標(biāo)為（2，-5），△PAB的面積為12。