Question

【題目】如圖，若m是正數(shù)，直線l：y＝－m與y軸交于點(diǎn)A；直線a：y＝x+m與y軸交于點(diǎn)B；拋物線L：y＝ x2+mx的頂點(diǎn)為C，且L與x軸左交點(diǎn)為D．

（1）若AB＝12，求m的值，此時(shí)在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Ｐ使得△的周長最小，求點(diǎn)Ｐ坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線l上方時(shí)，求點(diǎn)C與直線l距離的最大值；

（3）在拋物線L和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，分別直接寫出m＝2020和m＝2020.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）P（－3，3 ）；（2）點(diǎn)C與l距離的最大值為1；（3）m＝2020時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4042個(gè)，m＝2020.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1011個(gè)

【解析】

解：（1）求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，分別為A（0，－m）、B （0，m），又AB＝8，而可得到m－（﹣m）＝12，即可求出m.又知Ｏ、Ｄ兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，即OP=DP時(shí)，OB+OP+PB=OB+DP+PB 當(dāng)B、P、D三共線時(shí)△周長最短，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可.

（2）將二次函數(shù)轉(zhuǎn)為頂點(diǎn)式，y＝（x+ ）2－，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)C

C與l的距離≤1，據(jù)此可判斷出最大距離.

（3）分別求出當(dāng)m＝2020時(shí)，與當(dāng)m＝2020.5時(shí)，利用拋物線解析式與直線解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩種情況下的的美點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，注意分類討論。

解：（1）當(dāng)x＝0吋，y＝x+m＝m，

∴B （0，m），

∵AB＝8，而A（0，－m），

∴m－（﹣m）＝12，

∴m＝6．

∴L：y＝x2+6x，

∴L的對(duì)稱軸x＝－3，

又知Ｏ、Ｄ兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則OP=DP

∴OB+OP+PB=OB+DP+PB 當(dāng)B、P、D三共線時(shí)△周長最短，此時(shí)點(diǎn)P為直線a與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，當(dāng)x＝－3吋，y＝x+6＝3，

∴P（－3，3 ）

（2）y＝（x+ ）2－，

∴L的頂點(diǎn)C

∵點(diǎn)C在l上方，

∴C與l的距離≤1，

∴點(diǎn)C與l距離的最大值為1

（3）當(dāng)m＝2020時(shí)，共有4042個(gè)美點(diǎn)，當(dāng)m＝2020.5時(shí)，共有1011個(gè)美點(diǎn)。

①當(dāng)m＝2020時(shí)，拋物線解析式L：y＝x2+2020x

直線解析式a：y＝x+2020

聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1＝﹣2020，x2＝1，

∴可知每一個(gè)整數(shù)x的值 都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，且﹣2020和1之間（包括﹣2020和1）共有2022個(gè)整數(shù)；

∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，

∴線段和拋物線上各有2022個(gè)整數(shù)點(diǎn)

∴總計(jì)4044個(gè)點(diǎn)，

∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個(gè)點(diǎn)重復(fù)重復(fù)，

∴美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：4044﹣2＝4042（個(gè)）；

②當(dāng)m＝2020.5時(shí)，

拋物線解析式L：y＝x2+2020.5x，

直線解析式a：y＝x+2020.5，

聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1＝﹣2020.5，x2＝1，

∴當(dāng)x取整數(shù)時(shí)，在一次函數(shù)y＝x+2020.5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點(diǎn)”為0，

在二次函數(shù)y＝x2+2020.5x圖象上，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)值y可取整數(shù)，

可知﹣2020.5到1之間有1010個(gè)偶數(shù)，并且在﹣2020.5和1之間還有整數(shù)0，驗(yàn)證后可知0也符合

條件，因此“美點(diǎn)”共有1011個(gè)．

故m＝2020時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4042個(gè)，m＝2020.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1011個(gè)