Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.

（1）當(dāng)M點(diǎn)在（何處）時(shí)，AM＋CM的值最��；
（2）當(dāng)AM+EM的值最小時(shí)，∠BCM=°.
（3）①求證：△AMB≌△ENB；②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）BD的中點(diǎn)
（2）15
（3）解：①∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，
即∠BMA=∠NBE，
又∵M(jìn)B=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
②如圖，連接CE，

當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：連接MN，
由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等邊三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).
【解析】（1）①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，A.M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最��；
（ 2 ）如圖：

連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+EM的值最小，
過E作EF⊥BC于點(diǎn)F，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，
∴BE=BC，∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°，
∴∠BCM= ∠EBF=15°；
（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，A.M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最小。
（2）連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+EM的值最小，過E作EF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)已知ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，得出BE=BC，∠EBF=30°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求出∠BCM的度數(shù)即可。
（3）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BA=BE，∠ABE=60°，根據(jù)∠MBN=60°，然后證明△AMB≌△ENB即可；②連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，再根據(jù)已知及①的結(jié)論證明AM=EN，BM=MN，將AM、BM、CM轉(zhuǎn)化到同一條線段上，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得出答案。