Question

（2007•安溪縣質(zhì)檢）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是直角梯形，BC∥OA，A（8，0），C（0，4），AB=5，BD⊥OA于D．現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長的速度沿AO方向，經(jīng)O點(diǎn)再往OC方向移動(dòng)，最后到達(dá)C點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為多少時(shí)，△ABP的面積等于13；
（3）當(dāng)t為多少時(shí)，△ABP是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可以得出△ADB是直角三角形，利用勾股定理求得AD，BD的值，從而求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)t秒時(shí)，AP=t，由三角形的面積公式建立等量關(guān)系就可以求出t值．
（3）當(dāng)AP=AB、PB=AB或PA=PB時(shí)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立等量關(guān)系可以求出其t值．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是直角梯形，
∴∠AOC=90°．
∵BD⊥OA，
∴OC∥BD．
∵BC∥OA，
∴四邊形OABC是矩形，
∴OC=BD，BC=OD．
∵A（8，0），C（0，4），
∴OA=8，OC=BD=4．
∵AB=5，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD=3，∴BC=OD=5，
∴B（5，4）；

（2）當(dāng)P點(diǎn)在OA上時(shí)，

AP•4

2

=13，
AP=6.5，t=6.5；
當(dāng)P點(diǎn)在OC上時(shí)，PO=t-8，CP=4-t+8=12-t
∴（5+8）×4÷2-5×（12-t）÷2-（t-8）×8÷2=13
解得t=10．
故當(dāng)t為6.5秒或10秒時(shí)，△ABP的面積等于13；

（3）若P點(diǎn)在OA上，當(dāng)AP=AB=5，即t=5時(shí)，△ABP是等腰三角形
當(dāng)PB=AB=5時(shí)，即t=6時(shí)，△ABP是等腰三角形
當(dāng)PB=PA時(shí)，PD=t-3，PB=t，由勾股定理，得
t=

25

6

時(shí)，△ABP是等腰三角形，
當(dāng)P，C重合時(shí)，t=12，
故t=

25

6

、5、6、12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形的面積的運(yùn)用．