【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0),與y軸交于點C.若點P,Q同時從A點出發(fā),都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC邊運動,其中一點到達(dá)端點時,另一點也隨之停止運動.
(1)求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點P運動到B點時,點Q停止運動,這時,在x軸上是否存在點E,使得以A,E,Q為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請求出E點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)當(dāng)P,Q運動到t秒時,△APQ沿PQ翻折,點A恰好落在拋物線上D點處,請判定此時四邊形APDQ的形狀,并求出D點坐標(biāo).
【答案】(1)C(0,-4).(2)存在.點E的坐標(biāo)為(-,0)或(-,0)或(-1,0)或(7,0).(3)四邊形APDQ為菱形,D點坐標(biāo)為(-,-).
【解析】
試題分析:(1)將A,B點坐標(biāo)代入函數(shù)y=x2+bx+c中,求得b、c,進而可求解析式及C坐標(biāo).
(2)等腰三角形有三種情況,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ.借助垂直平分線,畫圓易得E大致位置,設(shè)邊長為x,表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標(biāo).
(3)注意到P,Q運動速度相同,則△APQ運動時都為等腰三角形,又由A、D對稱,則AP=DP,AQ=DQ,易得四邊形四邊都相等,即菱形.利用菱形對邊平行且相等等性質(zhì)可用t表示D點坐標(biāo),又D在E函數(shù)上,所以代入即可求t,進而D可表示.
試題解析:(1)∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0),
∴,解得,
∴y=x2-x-4.
∴C(0,-4).
(2)存在.
如圖1,過點Q作QD⊥OA于D,此時QD∥OC,
∵A(3,0),B(-1,0),C(0,-4),O(0,0),
∴AB=4,OA=3,OC=4,
∴AC==5,
∵當(dāng)點P運動到B點時,點Q停止運動,AB=4,
∴AQ=4.
∵QD∥OC,
∴,
∴,
∴QD=,AD=.
①作AQ的垂直平分線,交AO于E,此時AE=EQ,即△AEQ為等腰三角形,
設(shè)AE=x,則EQ=x,DE=AD-AE=|-x|,
∴在Rt△EDQ中,(-x)2+()2=x2,解得 x=,
∴OA-AE=3-=-,
∴E(-,0),
說明點E在x軸的負(fù)半軸上;
②以Q為圓心,AQ長半徑畫圓,交x軸于E,此時QE=QA=4,
∵ED=AD=,
∴AE=,
∴OA-AE=3-=-,
∴E(-,0).
③當(dāng)AE=AQ=4時,
1.當(dāng)E在A點左邊時,
∵OA-AE=3-4=-1,
∴E(-1,0).
2.當(dāng)E在A點右邊時,
∵OA+AE=3+4=7,
∴E(7,0).
綜上所述,存在滿足條件的點E,點E的坐標(biāo)為(-,0)或(-,0)或(-1,0)或(7,0).
(3)四邊形APDQ為菱形,D點坐標(biāo)為(-,-).理由如下:
如圖2,D點關(guān)于PQ與A點對稱,過點Q作,F(xiàn)Q⊥AP于F,
∵AP=AQ=t,AP=DP,AQ=DQ,
∴AP=AQ=QD=DP,
∴四邊形AQDP為菱形,
∵FQ∥OC,
∴,
∴,
∴AF=t,F(xiàn)Q=t,
∴Q(3-t,-t),
∵DQ=AP=t,
∴D(3-t-t,-t),
∵D在二次函數(shù)y=x2-x-4上,
∴-t=(3-t)2-(3-t)-4,
∴t=,或t=0(與A重合,舍去),
∴D(-,-).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)在拋物線y= x2上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系系是__________________.
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【題目】某市一中學(xué)舉行了“中國夢校園好少年”演講比賽活動,根據(jù)學(xué)生的成績劃分為A,B,C,D四個等級,繪制了不完整的兩種統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)C等級對應(yīng)扇形的圓心角為 度;
(2)學(xué)校欲從獲A等級的學(xué)生中隨機選取2人參加市演講比賽,請利用列表法或樹形圖法求獲A等級的小明參加市演講比賽的概率.(假設(shè)小明用A1表示,其他三人分別用A2、A3、A4表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有11個互不相同的數(shù),下面哪種方法可以不改變它們的中位數(shù)( 。
A. 將每個數(shù)加倍 B. 將最小的數(shù)增加任意值
C. 將最大的數(shù)減小任意值 D. 將最大的數(shù)增加任意值
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