已知:如圖,拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點C(0,2),與x軸交于點A、B,點A的精英家教網(wǎng)坐標為(-2,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)M是線段OB上一動點,N是線段OC上一動點,且ON=2OM,分別連接MC、MN.當△MNC的面積最大時,求點M、N的坐標.
(3)若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P,與直線AC交于點F,點D的坐標為(-1,0).問:是否存在直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)將A、C的坐標代入拋物線中進行求解即可.
(2)先根據(jù)拋物線的解析式求出B點的坐標,即可求出OB的長,然后設(shè)M的坐標為(m,0),可用m表示OM和NC的長,然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出關(guān)于△CMN的面積與m之間的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和m的取值范圍即可求出△CNM的最大值及對應(yīng)的M、N的坐標.
(3)本題要分三種情況進行討論:
①OF=DF,此時F必在OD的垂直平分線上,即F的橫坐標為-
1
2
,可根據(jù)直線AC的解析式求出F點的坐標,然后將F的縱坐標代入拋物線中即可求出P點的坐標.
②OD=DF,DF=1,易知:OA=OC=2,因此AD=OD=DF=1,三角形AFO為等腰直角三角形,因此可得出F(-1,1),后同①.
③當OD=DF=1時,②中已經(jīng)得出△OAC為等腰直角三角形,因此O到AC的距離為
2
>1,因此這種情況不成立.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)由題意,得
0=4a-2a+c
2=c

解得
a=-1
c=2

∴所求拋物線的解析式為:y=-x2-x+2

(2)設(shè)點M的坐標為(m,0),則OM=m,ON=2m,CN=2-2m.
S△MNC=
1
2
NC•OM=
1
2
(2-2m)•m=-m2+m=-(m-
1
2
2+
1
4

由-x2-x+2=0
得x1=-2,x2=1.
∴點B的坐標為(1,0).
則0<m<1,
∴當m=
1
2
時,S△MNC有最大值
1
4

此時,點M的坐標為(
1
2
,0),點N的坐標為(0,1).

(3)在△ODF中,
①若DO=DF,∵A(-2,0),D(-1,0),
∴AD=DO=DF=1.
又在Rt△AOC中,OA=OC=2,
∴∠OAC=45度.
∴∠DFA=∠OAC=45度.
∴∠ADF=90度.此時,點F的坐標為(-1,1).
由-x2-x+2=1,x;1=
-1+
5
2
,x2=
-1-
5
2
此時,
點P的坐標為:(
-1+
5
2
,1)或(
-1-
5
2
,1)
②若FO=FD,過點F作FE⊥x軸于點E.
由等腰三角形△AEF中,F(xiàn)E=AE=
3
2

∴F(-
1
2
,
3
2

由-x2-x+2=
3
2

得x1=
-1+
3
2
,x2=
-1-
3
2
此時,
點P的坐標為:(
-1+
3
2
,
3
2
)或(
-1-
3
2
,
3
2

③若OF=OD,∵OA=OC=2,且∠AOC=90°,
∴AC=2
2

∴點O到AC的距離為
2
,而OF=OD=1<
2
,
此時,不存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形.
綜上所述,存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形,
所求點P的坐標為:(
-1+
5
2
,1)或(
-1-
5
2
,1)或(
-1+
3
2
,
3
2
)或(
-1-
3
2
3
2
).
點評:本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點、等腰三角形的判定等知識點,綜合性強,考查學生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點,它們的橫坐標分別為-1和3,精英家教網(wǎng)與y軸交點C的縱坐標為3,△ABC的外接圓的圓心為點M.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)求圖象經(jīng)過M、A兩點的一次函數(shù)解析式;
(3)在(1)中的拋物線上是否存在點P,使過P、M兩點的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點E、F和點B所組成的△BEF和△ABC相似?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線的頂點為點D,與y軸相交于點A,直線y=ax+3與y軸也交于點A,矩形ABCO的頂點B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點的一個動圓,當⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點的距離為4時,求圓心P的坐標;
(3)若線段DO與AB交于點E,以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似,如果有可能,請求出點D坐標及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•寧化縣質(zhì)檢)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(1-
3
,0)和點B,將拋物線沿x軸向上翻折,頂點P落在點P′(1,3)處.
(1)求原拋物線的解析式;
(2)在原拋物線上,是否存在一點,與它關(guān)于原點對稱的點也在該拋物線上?若存在,求滿足條件的點的坐標;若不存在,說明理由.
(3)學校舉行班徽設(shè)計比賽,九年級(5)班的小明在解答此題時頓生靈感:過點P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點,將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉,設(shè)計成一個“W”型的班徽,“5”的拼音開頭字母為W,“W”圖案似大鵬展翅,寓意深遠;而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比
5
-1
2
(約等于0.618).請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少?(參考數(shù)據(jù):
5
≈2.236
,
6
≈2.449
,結(jié)果精確到0.001)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知,如圖,拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)與y軸交于點C(0,4),與x軸交于點A,B,點A的坐標為(4,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點M在拋物線上,且△ABC與△ABM的面積相等,直接寫出點M的坐標;
(3)點Q是線段AB上的動點,過點Q作QE∥AC,交BC于點E,連接CQ.當△CQE的面積最大時,求點Q的坐標;
(4)若平行于x軸的動直線l與線段AC交于點F,點D的坐標為(2,0).問:是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出直線l的解析式;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知,如圖,拋物線y=x2+px+q與x軸相交于A、B兩點,與y軸交于點C,且OA≠OB,OA=OC,設(shè)拋物線的頂點為點P,直線PC與x軸的交點D恰好與點A關(guān)于y軸對稱.
(1)求p、q的值.
(2)在題中的拋物線上是否存在這樣的點Q,使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)連接PA、AC.問:在直線PC上,是否存在這樣點E(不與點C重合),使得以P、A、E為頂點的三角形與△PAC相似?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案