Question

（1997•湖南）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，∠APB是平分線分別交BC，AB于點(diǎn)D、E，交⊙O于點(diǎn)F，∠A=60°，并且線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程 x²-kx+2

3

=0的兩根（k為常數(shù)）．
（1）求證：PA•BD=PB•AE；
（2）求證：⊙O的直徑長(zhǎng)為常數(shù)k；
（3）求tan∠FPA的值．

Answer 1

分析：（1）由PB切⊙O于點(diǎn)B，根據(jù)弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可證得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得PA•BD=PB•AE；
（2）易證得BE=BD，又由線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程 x²-kx+2

3

=0的兩根（k為常數(shù)），即可得AE+BD=k，繼而求得AB=k，即：⊙O的直徑長(zhǎng)為常數(shù)k；
（3）由∠A=60°，并且線段AE、BC的長(zhǎng)是一元二次方程 x²-kx+2

3

=0的兩根（k為常數(shù)），可求得AE與BD的長(zhǎng)，繼而求得tan∠FPB的值，則可得tan∠FPA的值．

解答：（1）證明：如圖，
∵PB切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠PBD=∠A，
∵PF平分∠APB，
∴∠APE=∠BPD，
∴△PBD∽△PAE，
∴PB：PA=BD：AE，
∴PA•BD=PB•AE；（2分）

（2）證明：如圖，
∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．
又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，
∴∠BED=∠BDE．
∴BE=BD．
∵線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程 x²-kx+2

3

=0的兩根（k為常數(shù)），
∴AE+BD=k，
∴AE+BD=AE+BE=AB=k，
即⊙O直徑為常數(shù)k．（5分）

（3）∵PB切⊙O于B點(diǎn)，AB為直徑．
∴∠PBA=90°．
∵∠A=60°．
∴PB=PA•sin60°=

3

2

PA，
又∵PA•BD=PB•AE，
∴BD=

3

2

AE，
∵線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程 x²-kx+2

3

=0的兩根（k為常數(shù)）．
∴AE•BD=2

3

，
即

3

2

AE²=2

3

，
解得：AE=2，BD=

3

，
∴AB=k=AE+BD=2+

3

，BE=BD=

3

，
在Rt△PBA中，PB=AB•tan60°=（2+

3

）×

3

=3+2

3

．
在Rt△PBE中，tan∠BPF=

BE

PB

=

3

3+2 3

=2-

3

，
∵∠FPA=∠BPF，
∴tan∠FPA=2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．