Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P為BC的中點，動點Q從點P出發(fā)，沿射線PC方向以2cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓，設(shè)點Q運動的時間為ts．
（1）求點P到AB的距離；
（2）當(dāng)t=1.2s時，判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）已知⊙O為△ABC的外接圓，問是否存在t的值，使⊙P與⊙O相切？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）作PD⊥AB，交AB于點D，根據(jù)已知利用勾股定理求出AB=10cm，進(jìn)而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得出圓心P到直線AB的距離即可，
（2）求出PQ的值，可得圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，即可得出直線AB與⊙P相切；
（3）根據(jù)BO=

1

2

AB=5cm，得出⊙P與⊙O只能內(nèi)切，進(jìn)而求出⊙P與⊙O相切時，t的值．

解答：解：（1）如圖1，作PD⊥AB，交AB于點D，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10cm，
∵P為BC的中點，
∴PB=

1

2

BC=4cm，
∵△ABC∽△PBD，
∴

PD

AC

=

PB

AB

，即

PD

6

=

4

10

，解得PD=2.4cm，
∴點P到AB的距離為2.4cm，
（2）當(dāng)t=1.2時，PQ=2t=2.4（cm），
∵由（1）可得PD=2.4cm，
∴PD=PQ，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，
∴直線AB與⊙P相切；
（3）∵∠ACB=90°，
∴AB為△ABC的外接圓的直徑，
∴BO=

1

2

AB=5cm，
連接OP，
∵P為BC中點，PO為△ABC的中位線，
∴PO=

1

2

AC=3cm，
∵點P在⊙O內(nèi)部，
∴⊙P與⊙O只能內(nèi)切，
∴當(dāng)⊙P在⊙O內(nèi)部時：5-2t=3，
當(dāng)⊙O在⊙P內(nèi)部時2t-5=3，
∴t=1或4，
∴⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系，利用圖形分類討論得出是解題的關(guān)鍵．