Question

【題目】如圖，拋物線的對稱軸是直線，且與軸相交于A，B兩點（點B在點A的右側），與軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式和A，B兩點的坐標；

（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B,C重合），則是否存在一點P，使△BPC的面積最大？若存在，請求出△BPC的最大面積；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1），點A的坐標為（-2,0），點B的坐標為（8,0）；（2）當=4時，△PBC的面積最大，最大面積是16．

【解析】

(1)由拋物線的對稱軸是直線x=3，解出a的值，即可求得拋物線解析式，在令其y值為0，解一元二次方程即可求出A和B的坐標；
(2)易求點C的坐標為(0，4)，設直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0)，將B(8，0)，C(0，4)代入y=kx+b，解出k和b的值，即得直線BC的解析式；設點P的坐標為(，)，過點P作PD∥y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標為(，)，利用面積公式得出關于x的二次函數(shù)，從而求得其最值．

(1)∵拋物線的對稱軸是直線，

∴，解得，

∴ 拋物線的解析式為：，

當時，即，

解之得：， ，

∴點A的坐標為(-2,0)，點B的坐標為(8,0)，

故答案為：，點A的坐標為(-2,0)，點B的坐標為(8,0)；

(2)當時，

∴點C的坐標為(0,4)

設直線BC的解析式為，

將點B(8,0)和點C(0,4)的坐標代入得：

，

解之得：，

∴直線BC的解析式為，

假設存在，

設點P 的坐標為(，)，

過點P作PD∥軸，交直線BC于點D，交軸于點E，

則點D的坐標為(，)，如圖所示，

PD=-()=

∴S△PBC=S△PDC+ S△PDB=

=

=

=

∵-1<0

∴當=4時，△PBC的面積最大，最大面積是16．